- •Раздел I.
- •§1. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •§2. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).
- •§3. Разложение многочлена на множители.
- •§4. Интегрирование тригонометрических функций.
- •Раздел II.
- •§1. Определенный интеграл.
- •§2. Определение определенного интеграла.
- •§3.Условие существования определенного интеграла.
- •§4. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Раздел III.
- •§1. Площадь плоской фигуры.
- •I. Длина дуги кривой в декартовых координатах.
- •II. Длина кривой заданной параметрически.
- •III. Длина дуги в полярных координатах.
Раздел I.
§1. Неопределенный интеграл и его свойства.
Определение 1.: ФункцияF(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство:
F'(x)= ƒ(x).
Пример: F(x)=cos(x)+C; ƒ(x)=sin(x);
Теорема1. Если F1(x) иF2(x) какие-либо первообразные для функции ƒ(x) на отрезке [a,b], то выполняется соотношение:
F1(x) – F2(x) = C;
Доказательство.
Так как F1(x) первообразная для функции ƒ(x), тоF1'(x)= ƒ(x).
Так как F2(x) первообразная для функции ƒ(x), тоF2'(x)= ƒ(x).
Вычтем из первого равенства второе:
F1' (x) – F2'(x) = 0,
(F1(x) – F2(x))' = 0;
Обозначим F1(x) –F2(x)=φ(x), тогда φ'(x)=0;
Покажем, что φ(x) принимает постоянные значения.
Применим φ(x) на отрезке [a,x] теорему Лагранжа.
φ(x) – φ(a) = φ'(ξ)(x-a), a< ξ <x ,
так как φ'(ξ)=0, то φ(x) – φ(a) =0, то есть φ(x) = φ(a).
φ(a) = С, φ(x) =С;
F1(x) – F2(x) = C;
Замечание: из теоремы следует, что, еслиF(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная.
Определение 2.: Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b] называется неопределенным интегралом отf(x) и обозначается:
∫ ƒ(x)dx=F(x) +C, причемF'(x) = ƒ(x),
ƒ(x) – называется подынтегральной функцией;
ƒ(x)dx– называется подынтегральным выражением;
Свойства неопределенного интеграла:
1. (∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x);
Доказательство.
(∫ƒ(x)dx)' = (F(x)+C)' =F'(x) = ƒ(x);
2. d∫ƒ(x)dx= ƒ(x)dx;
Доказательство.
d ∫ƒ(x)dx= (∫ƒ(x)dx)' ·dx= | по свойству 1| = ƒ(x)dx;
3. ∫d F(x) = F(x) + C;
Доказательство.
Возьмем дифференциал от левой части:
d∫dF(x) =dF(x) (по свойству 2 )
найдем дифференциал от правой части:
d (F(x) + C) = dF(x) + dC = dF(x)
Получили, что обе части равны.
4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx=∫ƒ1(x)dx+∫ƒ2(x)dx.
Найдем производную от левой и от правой частей:
(∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx)' = |по св-ву 1| = ƒ1(x)+ ƒ2(x)
(∫ƒ1(x)dx+∫ƒ2(x)dx)' = (∫ƒ1(x)dx+∫ƒ2(x)dx)' = ƒ1(x) + ƒ2(x).
5. ∫k·ƒ(x)dx=k·∫ƒ(x)dx, гдеk– постоянный множитель.
Доказательство.
(∫k·ƒ(x)dx)' =k·ƒ(x);
(k·∫ƒ(x)dx)' =k·(∫ƒ(x)dx)' =k·∫ƒ(x);
6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной xнекоторой функцииu(x), т.е. если∫ƒ(x)dx=F(x) +C;
∫ƒ(u)du = F(u) + C;
Доказательство.
Имеем: ∫ƒ(x)dx=F(x) +C;
F'(x) = ƒ(x),
Так как дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности, т.е. форма его не зависит от того является ли xнезависимой переменной или некоторой функцией
от x, то дифференциал
dF(u) = F'(u)du = ƒ(u)du
F'(u) = ƒ(u)
∫ƒ(u)du=∫dF(u) = | по свойству 3 | =F(u) +C.
Таблица основных интегралов.
1. ∫xαdx=xα+1/ (α+1) +C α ≠-1 |
1. ∫ uα du = uα+1/ (α+1) + C α ≠-1 |
2. = ln |x| + C |
2. = ln |u| + C |
3. ∫ ex= ex + C |
3. ∫ eu = eu + C |
4. ∫ ax dx = ax/lna + C |
4. audu = au/lna + C |
5. ∫ sin(x)dx = - cos(x) + C |
5. ∫ sin(u)du= - cos(u) + C |
6. ∫ cos(x)dx = sin(x) + C |
6. ∫ cos(u)du = sin(u) + C |
7. = tg(x) + C |
7. = tg(u) + C |
8. = -ctg(x) + C |
8. = -ctg(u) + C |
9.= arcsin ()+ C |
9. = arcsin ()+C |
10. =ln | x + | + C |
10. =ln |u + | + C
|
11. =arctg()+C |
11. =arctg()+C |
12. =ln || + C |
12. =ln || + C |
13=ln || + C |
13. =ln || + C |
14. = ln |tg()| + C |
14. = ln |tg()| + C |
15. = ln |tg()| + C |
15. = ln |tg()| + C |
16.∫ tg(x) dx = – ln |cos(x)| + C |
16.∫ tg(u) du = – ln |cos(u)| + C |
17.∫ ctg(x) dx = ln |sin(x)| + C |
17.∫ ctg(u) du = ln |sin(u)| + C |
Проверим формулу 9.
(arcsin)' = = = ;
Проверим формулу 10.
(ln| x + | )' = ==;
Проверим формулу 11.
(arctg)' ==;
Поверим формулу 12.
(a ∙ ln ||)' = = = ;
Проверим формулу 14.
(ln |tg()|)' = ==;
Проверим формулу 15.
Пусть cos(x) = sin(x + )
= = ln |tg()| + C;
Проверим формулу 16.
∫ tg(x)dx=∫ = –∫– = -∫ = –∫ = –ln|cos(x)| +C;
Проверим формулу 17.
∫ ctg(x) dx = ∫ =∫ = = ln |sin(x)| + C;
Пример:
1. ∫dx=∫ (8-3x)6/5dx= |d(8-3x) = – 3dx| = –∫ (8-3x)6/5(– 3dx) =
–∫(8 –3x)6/5 d(8-3x) = – (8-3x)11/5 + C.
_____
2. ∫ x √4 + x² dx = ∫ (4 + x²)1/2x dx = | d(4 + x²) = 2x dx| = 1/2 · ∫ (4 + x²)1/22x dx =
=· ∫(4 + x²)1/2 d(4 + x²) = =+ C;
______
3. ∫ 3√ sin²(x) · cos(x)dx = ∫ (sin(x))2/3 d(sin(x)) = 5/3 (sin(x))5/3 + C
4. Найти интеграл.
dx= dx = | | = =arcsin (x3) + C.