Произвольные страховые суммы
Пусть теперь страховые суммы могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Иначе говоря, {/(«), О ^ и < оо} — пуассоновский процесс и его распределение задается формулой (2). Тогда %(и) можно представить в виде суммы случайного числа случайных величин:
*(«)= 2 ъ, (53)
где Хи %2> . .., Xt, ... —взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Я (х), а ть т2, .. ., т,-, .. . —моменты наступления событий данного пуас-соновского процесса. Случайные величины {/,■} и {tJ независимы. Кроме того, разности т(- — тг_[ (/=1,2,...; т0 = 0) являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения F(x)= 1 — е-Л* для х^О. Обозначим а = Е{Х(}.
Положим £(«) = %{и) — си для «^0. Тогда
№(/, х) = Р{ sup £(«)<*} (54)
И
Г(х) = Р{ sup £(«)<*}. (55)
0<и<оо
Для х^О имеем
W (t, x) = e~Kte(x + ct) +
6{t, X, С) X + CU
+ j J W(t-u, x + cu-y)e-tMkdudH(y), (56)
0 -oo
где e (ж) = 1 при л: ^ 0 и e (x) = 0 при x < 0; ô (/, x, с) = t при с ^ 0 и ô (t, х, с) = min (t — х/с) при с < 0. В самом деле,
PI sup £(иХ*|т! = ы и Xi = «/1 =
IE (X + С^) W(/ — и, х + си — у) о
при u>t,
при u<à(t, х, с), (57)
в' остальных случаях.
Взяв математическое ожидание от (57) по т^ и %и получим (56). Решив интегральное уравнение (56), найдем W(t, х).
Из уравнения (56) можно вывести интегро-дифференциальное уравнение
dW (t, x) dW (t, x) ,
dt
dx
= С ^—- — X
W(t, x)- J W(t, x-y)dH(y)
, (58)
справедливое для почти всех (t, x)(t^0, x^O).
Рассуждая так же, как при выводе уравнения (56), получаем
W
5 (я. с) х+си
(*)= J J" W (x + си - y) е~КиХ du dH(y)
(59)
при x ^ 0, где ô {x, c) = oo при с ^ 0 и ô (x, c)= — x/c при с < 0. Если Xa<c, то №(oo)=l, a W (x) определяется по формуле (59). Если Ха^с, то №(оо) = 0, откуда W(x) = 0 для всех х.
Те же рассуждения, что и при выводе уравнения (58) из (56), дают
cW (x) = X
(60)
W(x)- jW(x-y)dH(y)
— oo
для всех х^О. Проинтегрировав (60) от х до оо, получим
ОО X
c[\-W{x)\ = X | [l-H(u)]du + X J" [l-W(u)]du-
x 0
oo
-X j [l-W(u)]H(x-u)du (61)
для x ^ 0.
Если Ха<с и с^О, то
oo
j e-sxdW(x) = A(s) о
для Re(s)^0, а если Ха<с и с<0, то
-*. oo
je-dW(x) = A(s)(Y^) о
для Re(s)>0, где
Л (s) = exp I - J" e-** dM (x) \
(62)
(63)
(64)
и
оо оо
М (х) = S Ч\ J e~Kvu"~l [!-#»(* + си)] du, (65)
п=\ О ИЛИ
M(x) = f V{l(ul>K) du (66)
о при х^О.
Формулы (62) и (63) легко доказать с помощью соотношения (23) § 11. Положим £= sup £(и). Если с^О, то
0<и<°о
£ = sup £(тг + 0)= sup (xi+ ... +Хг-стг), (67)
0<r<°o 0<r<°o
а если c<[0, то
£ = sup £(тг-0) = sup (x,+ ... +Xr-i + CTr). (68)
В соответствии с этим, если \т — %г — с(хг — tr-\) для г=1, 2, ..., то для с^О формула (67) дает
£ = sup(0, g,, Êi+Ег, .... Si+ ... +lr, •••), (69)
где ■ I,, g2, ..., |„ ...—взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины. Если Е {|г} = а — с/Х < 0, то £ — собственная случайная величина, а преобразование Лапласа — Стильтьеса распределения Р {t, ^. х) — W (х) определяется по формуле (23) § 11. Если Е{У = а-сД>0, то Р{| = оо}=1, т.е. W(x) = 0 для всех х.
Если \т = Хг — с(тг+1 — хг) для г=\, 2, ..., то для с^О формула (68) дает
£=-CTl + sup(0, tuh + h, .... Êi + ... + S„ ...), (70)
откуда £ = cti + £*, где величина Ç не зависит от Т[ и имеет такое же распределение, что и (69).
Замечание. В заключение приведем небольшой обзор исторического развития математической теории разорения. Асимптотическое распределение процесса разорения (х(и), 0^«<оо) было впервые изучено в 1903 г. Лундбергом [21] и далее исследовалось им же в работах [22—26]. Лундберг заметил, что если Е{%(и)) = ри и Var{x(«)} = 02«, где число а2 конечно и положительно, то
limpiM^L<x}= I h-Mdy. (71)
п-><х> L у а2и ) у 2л •>
Погрешность нормального приближения оценили Крамер [9, 10] и Эссеен [18]. Приближенную формулу для Р (х(«) — р« ^ хи) при х<0 дал Эстер [17], а потом его метод развивали Крамер [11] и Феллер [19].
Функцию разорения Р {0* < оо} = 1 — W (х), определенную соотношением (55), ввел Лундберг [23, 25, 26]. Для случая положительных страховых сумм (Я(0) = 0) Лундберг нашел, что 1 = W(x)^.e~Rx при ï^O и 1 — W(х)~Ce~Rx при х->оо, где R и С —положительные константы. В 1926 г. Крамер [9] обнаружил, что при Ха<с и #(0) = 0 функция W(x) удовлетворяет интегральному уравнению типа Вольтерры
х
c[l -W(x)] = Xa-l j W(u)[l-H(x-u)]du (72)
о
для х^О. В 1930 г. Крамер [10] нашел преобразование Фурье функции W(x) (формула Полячека — Хинчина в теории очередей). Для постоянных страховых сумм функция W(x) была найдена в явном виде Феллером (см. также Сегердал [31, стр. 88]). В этом случае ее еще раньше нашел Эрланг (см. [20] в литературе к гл. 5). Для произвольных страховых сумм Сегердал [31 — 33] показал, что l-W(x)^e~*x при х>0 и 1 - W (х) ~ Се~^х при х->оо. В 1937 г. Крамер [12] доказал, что в случае произвольных страховых сумм W(x) удовлетворяет интегральному уравнению (61). Решение интегрального уравнения (61) в виде (62) и (63) дали Тэклинд [36] и Крамер [13].
Моменты случайной величины 0*, определенной формулой (6), вычислили Лундберг [23] и Сегердал [31].
Функцию разорения Р{0л^/}= 1 — W(t, x), определенную формулой (54), изучал первым Саксен [29, 30]. В случае отрицательных страховых сумм Саксен [29] вывел интегро-дифференциальное уравнение (58), а для отрицательных и постоянных сумм он нашел решение (48). В 1950 г. Арфведсон [2] получил интегро-дифференциальное уравнение (58) и нашел явное выражение для W(t, x) в случае, когда страховые суммы являются положительными экспоненциально распределенными случайными величинами (формула (33)), а также в случае, когда страховые суммы являются отрицательными экспоненциально распределенными случайными величинами (формула (51)); см. также Арфведсон [3]. Для положительных и постоянных страховых сумм функцию W(t, x) нашли Саксен [30] и Арфведсон [4] при / = т/с и x = n (m, n — неотрицательные целые числа). Арфведсон [4] нашел также W(m/c, n) для отрицательных и постоянных страховых сумм. Для случая, когда страховые суммы положительны или только отрицательны, Арфведсон [6] нашел двойное преобразование Лапласа — Стильтьеса функции W.{t, х). Для произвольных страховых сумм метод определения W{t, х) предложил в 1955 г.- Крамер [14]. (См. также работу Бакстера и Донскера [1] в гл. 4.)