- •15. Линии 2-го порядка. Классификация.
- •16. Пересечение линии 2-го порядка с прямой.
- •17.Касательные
- •18. Полюс и поляра.
- •19. Полный четырехвершинник, вписанный в овал.
- •21.Теоремы Паскаля и Брианшона.
- •22. Изображения фигур в параллельной проекции.
- •23 Изображения плоских фигур в параллельной проекции.
- •24. Изображения пространственных фигур в параллельной проекции.
- •25.Аксонометрия.
- •26.Позиционные задачи.
14.Гиперболические гомологии.
Гомологией называется нетождественное проективное преобразование плоскости, имеющее точечно неподвижную (инвариантную) прямую, называемую осью гомологии.
Свойства гомологии.
1. Прямая, проходящая через две несовпадающие соответственные точки,
преобразуется в себя (является неподвижной).
2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки (не
принадлежащие одной прямой), проходят через одну неподвижную
(инвариантную) точку, называемую центром гомологии.
3. Прямая, не проходящая через центр гомологии, и ее образ пересекаются
на оси гомологии.
Гомология, центр которой не принадлежит оси, называется гиперболической.
Гомология задается осью s, центром S и парой соответственных точек, лежащих на прямой, проходящей через центр. Обозначим такую гомологию (S, s; A, A).
Построение соответственных точек (фигур).
Пусть (S, s; A, A) – гомология, M – произвольная не двойная точка.
Найдем ее образ M= (M). Для этого последовательно проводим прямые 1) SM; 2) AM, AM s = P (=P); 3) PA M= AM PA.
– гиперболическая.
На расширенной плоскости выделяются частные виды гомологии.
1. Перспективно-аффинное (родственное) преобразование. Это гомология с несобственным центром. Среди них имеются
а) отражения со сжатием (или растяжением) к оси;
б) отражения – осевые симметрии (косая симметрия, симметрия);
в) сжатия к оси (либо растяжения);
г) параллельные переносы – ( S , s , A, A);
д) сдвиги (перекосы) – (S , s, (S s), A, A).
2. Гомотетия – (S, s , A, A); в частности это может быть центральная симметрия.
15. Линии 2-го порядка. Классификация.
Кривой второго порядка на проективной плоскости называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
а11х12 + а22 х22 + a33 х32 + 2а12 х1х2+ 2а13 х1х3+ 2а23 х2х3 = 0, где а11, … , а23 – действительные числа, не все из которых равны нулю.
В матричном виде: XTAX = 0, AT = A.
Примеры (классы) кривых второго порядка:
1. х12 + х22 – х32 = 0;( овальной кривой второго порядка)
2. х12 – х22 = 0;( пара прямых)
3. х12 + х22 = 0;( пара мнимых прямых)
4. х12 = 0;( двойная прямая)
5. х12 + х22 + х32 = 0 (мнимая кривая, мнимый овал)
Можно доказать, что любая кривая второго порядка в соответствующей системе координат имеет одно из пяти уравнений, и, значит, является одной из пяти вышеупомянутых кривых.
16. Пересечение линии 2-го порядка с прямой.
Пусть кривая второго порядка задана уравнением а11х12 + а22 х22 + a33 х32 + 2а12 х1х2+ 2а13 х1х3+ 2а23 х2х3 = 0 (1) и A(ai ), B(bi ) – две точки. Найдем пересечение прямой AB с кривой . Уравнение прямой AB : хi = ai + bi.(1). Подставим (1) в (1 ):
;\s\do10(iаij (ai + bi)(aj + bj) = 0,
2;\s\do10(iаij aiaj + 2;\s\do10(iаij aibj + 2;\s\do10(iаij bibj = 0, (2).
Это уравнение вида 2 + 2 + 2 = 0.(*)
Возможны следующие случаи.
1. = = = 0; тогда и любые, AB .
2. = = 0, 0; тогда = 0 или = 0 ; это значит AB = {A, B}.
3. 0 или 0; пусть 0, тогда разделим (*) на 2:
(/)2 + 2(/) + = 0; (3)
Это уравнение относительно неизвестного / имеет два корня (различные или совпадающие действительные, или комплексно-сопряженные). Подставляем 1, 1 и 2, 2 в (1) и получаем две точки пересечения (действительные или комплексные, а, может быть, совпадающие).
17.Касательные
Касательной к кривой 2 порядка называется прямая, которая имеет с одну (двойную) общую точку.
Пусть задана уравнением а11х12 + а22 х22 + a33 х32 + 2а12 х1х2+ 2а13 х1х3+ 2а23 х2х3 = 0 и A(ai ) . Составим уравнение касательной l к в точке A . Поскольку A , то ;\s\do10(iаij aiaj= 0. Пусть B(bi ) l . Тогда уравнение прямой AB: хi = ai + bi . Пересечение AB с находится из уравнения. Поскольку AB – касательная, то это уравнение должно свестись до 2 = 0. С учетом остается потребовать ;\s\do10(iаij aibj = 0. Это условие принадлежности B касательной l .Обозначим, как обычно, координаты B через xi ; тогда уравнение касательной к в точке A(ai ).;\s\do10(i(аij ai) xj = 0 ,или (а11а1+ а12a2+ а13a3) х1+ (а12а1+ а22а2+ а23a3)х2 + (а13а1+ а23а2+ а33a3) х3= 0.
18. Полюс и поляра.
Пусть кривая 2 порядка задана в плоскости ; ¯ уравнением а11х12 + а22 х22 + a33 х32 + 2а12 х1х2+ 2а13 х1х3+ 2а23 х2х3 = 0 , и A(ai ) – произвольная точка плоскости ; ¯ . Полярой точки A относительно называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению ;\s\do10(i(аij ai) xj = 0 ;\s\do10( j =1uj xj = 0 (1), где мы обозначили uj = ;\s\do10(i =1аij ai. Мы видим, что поляра – это прямая (если не все uj = 0). Точка A называется полюсом этой прямой.
Теорема о взаимности. Если точка B принадлежит поляре точки A, то A принадлежит поляре точки B.
Доказательство. Пусть кривая имеет уравнение а11х12 + а22 х22 + a33 х32 + 2а12 х1х2+ 2а13 х1х3+ 2а23 х2х3 = 0, а точки A и B – координаты ai и bi . Пусть p(A) и p(B) – поляры точек A и B. Уравнение p(A): ;\s\do10(i(аij ai) xj = 0 ; уравнение p(B): ;\s\do10(i(аij bi) xj = 0 ; B p(A) ;\s\do10(iаij aibj = 0 ;\s\do10(iаij biaj = 0 A p(B) .Чтд.