20. Распределение Стьюдента. Коэффициент Стьюдента

Для определения границ доверительных интервалов вводится поправочный коэффициент - коэффициент Стьюдента (псевдоним английского ученого Боссета), учитывающий небольшое количество измерений. Значения коэффициентов Стьюдента приводятся во всех справочниках по теории вероятностей и математической статистике. Величина этого коэффициента зависит от числа измерений n и надежности .(про коэффиц.Стьюдента есть информация в следующем вопросе, просто я не знаю как ее оттуда можно выделить)

21. Точечные и доверительные оценки

22. Оценка величины случайной ошибки, определение границ доверительных интервалов.

Оценка величины случайной ошибки может производиться несколькими способами, наиболее распространенным из которых является вычисление стандартной или средней квадратичной ошибки отдельного измерения:

В действительности, однако, мы всегда вычисляем не величину , а ее приближенное значение S , которое тем ближе к , чем больше n. Т.е., это средняя квадратичная ошибка серии измерений для ограниченного числа измерений

Относительная величина средней квадратичной ошибки, выраженная в % , носит название коэффициента вариации :

Пусть означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую чем х. Это принято записывать в виде:

Р (х- х)<x<(x+ x) =

Вероятность носит название доверительной вероятности, или коэффициента надежности. Интервал значений от х- х до х+ х называется доверительным интервалом.

Выражение для Р означает, что с вероятностью результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала + х. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим получается доверительный интервал ,и наоборот, чем больший доверительный интервал мы задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.

Для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно величину самой ошибки (доверительный интервал) и величину доверительной вероятности. Указание одной только величины ошибки в значительной мере лишено смысла, т.к. при этом мы не знаем, сколь надежны эти данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученных результатов.

Необходимая степень надежности опять-таки задается характером производимых измерений.

Итак, для нахождения случайной ошибки нужно определить два числа - доверительный интервал и доверительную вероятность. Средней квадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоенной среднеквадратичной ошибке (2 ) - доверительная вероятность 0,95, утроенной (3 ) - 0,997.

Строго говоря, данная формула справедлива для тех случаев, когда число измерений одной и той же величины относительно большое (не менее 25-30). Для ограниченного числа измерений вычисляется средняя квадратичная ошибка серии измерений:

Для определения границ доверительных интервалов вводится поправочный коэффициент - коэффициент Стьюдента (псевдоним английского ученого Боссета), учитывающий небольшое количество измерений. Значения коэффициентов Стьюдента приводятся во всех справочниках по теории вероятностей и математической статистике. Величина этого коэффициента зависит от числа измерений n и надежности

Для измерения обычных объектов криминалистической экспертизы можно дать некоторые рекомендации по выбору значений надежности. Так, например, если для измерения диаметра гильзы пистолета Макарова (номинальный размер порядка 10 мм) используется штангенциркуль ШЩ-1 с величиной отсчета по нониусу 0,1 мм, то можно оценить величину надежности (максимальной), разделив величину отсчета на величину номинального размера и умножив на 100%. В нашем примере она будет равняться:

=100% - х 100% = 99%

Если же измерить эту же гильзу микрометром типа МК, у которого цена деления 0,01 мм, то надежность, вычисленная таким же образом, будет равняться 99,9%.

Тем не менее, следует отметить, что надежность обычно подбирает сам экспериментатор и в практических исследованиях она обычно бывает равной 90, 95 и 99%, а в особых случаях - 99,9%.

С учетом поправочного коэффициента границы доверительных интервалов определяются по формуле: