]Длина дуги как параметр

Кривая допускает бесчисленное множество различных способов параметрического задания уравнениями вида (1). Среди них особое значение имеет так называемая естественная параметризация, когда параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.

Среди преимуществ такой параметризации:

1. Производная радиус-вектора   имеет единичную длину и поэтому совпадает с единичным вектором касательной.

2.  по длине совпадает с кривизной кривой, а по направлению — с её главной нормалью.

]Евклидова плоскость

Если плоская кривая задана уравнением   то её длина равна:

В полярных координатах 

]Риманово пространство

В n-мерном римановом пространстве с координатами   кривая задаётся параметрическими уравнениями:

,

((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

,

где :   — метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в  .

]Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства   длиной   кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой   определяется согласно формуле:

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям   отрезка  .

]История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено дляокружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямым и кривым неизвестно, и даже, думаю, не может быть познано людьми».

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен,Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.