- •*Пружинный маятник
- •*Математический маятник
- •Характеристики затухающих колебаний
- •Затухающие колебания в электрическом контуре
- •Затухающий гармонический осциллятор
- •Консервативный гармонический осциллятор
- •[Править]Резонанс
- •Типы волн: продольные и поперечные, плоские, сферические.
- •Волновое уравнение.
- •Вектор Пойнтинга.
- •Если отверст. Открыв. Четное число зон Френеля то в т. P наблюд. Min, если нечетное – то max.
1)Общая характеристика колебаний.Классификация колебаний.
Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во временипроцесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.
Колебания почти всегда связаны с попеременным превращениемэнергии одной формы проявления в другую форму.
Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.
2)Незатухающие гармонические колебания. Параметры гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение г.к. Энергия колебаний.
НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания с постоянной амплитудой.
Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие изменения физической величины, которые идут по закону
где . Из курса математики известно, что функция вида (1) меняется в пределах от А до -А , и что наименьший положительный период у нее . Поэтому гармоническое колебание вида (1) происходит с амплитудой А и периодом .
Не следует путать циклическую частоту и частоту колебаний . Между ними простая связь. Так как , а , то .
Величина называется фазой колебания. При t=0 фаза равна , потому называют начальной фазой.
Отметим, что при одном и том же t:
где - начальная фаза .Видно, что начальная фаза для одного и того же колебания есть величина, определенная с точнотью до
Закон Ома (10.7) |
Второй закон Ньютона (4.6) |
Уравнение динамики вращательного движения (7.3) |
|
||
|
|
|
Используя другое обозначение производной получим после несложных преобразований: |
||
|
|
|
Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одинаковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ .
3)Пружинный и математический маятники.
*Пружинный маятник
На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp) (рис. 3, первый две силы на рис. а не указаны). Запишем второй закон Ньютона для случая, изображенного на рис. 3, б
0Х: или
а (материал с сайта science.up-life.ru)
б
Рис. 3.
Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний
находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника
Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:
*Математический маятник
На груз m математического маятника действуют сила тяжести (m⋅g) и сила упругости нити (Fynp) (сила натяжения) (рис. 4). Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для случая, изображенного на рис. 4, б
б
Рис. 4.
Пусть x — длина дуги AB, следовательно, x = l⋅θ, где угол θ выражен в радианах. Заметим, что при малых углах θ
Тогда
или
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний
находим, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
Тогда период колебаний маятника будет равен:
5)Незатухающие электрические колебания. Энергия электрических колебаний.
Простейший колебательный контур. Формула Томсона
В простейшем случае, когда омическое сопротивление равно нулю (R = 0) и источник э.д.с. отсутствует (E = 0), колебательный контур состоит лишь из конденсатора C и катушки индуктивности L и описывается дифференциальным уравнением
В таком контуре будут происходить незатухающие электрические колебания с периодом
Данная формула называется формулой Томсона в честь английского физика Уильяма Томсона (1824-1907), который теоретически вывел ее в 1853 году.
В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью. Вычислим обе составляющие.
6)Графическое представление колебаний.
Период гармонических колебаний равен: T = 2π/ . Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν. Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду. Круговая частота = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.
Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм)(рис.1.1.Б).
Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды Арасположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону: . Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.
7)Собственные затухающие колебания. Параметры затухающих колебаний.
Собственные затухающие колебания происходят в колебательном контуре RLC(рис. 11.1. и 11.5.).
Рис. 11.5.
Эти колебания можно описать следующим дифференциальным уравнением (правило напряжений Кирхгофа):
IR – UC = eСИ. (11.6)
Здесь по-прежнему: I = ; UC = ; eСИ = = = .
Учитывая эти соотношения, уравнению (11.6) придадим следующий вид:
;
. (11.7)
Здесь d = — коэффициент затухания; = — частота собственных незатухающих колебаний.
Уравнение (11.7) — дифференциальное уравнение собственных затухающих электрических колебаний.
Если в системе , то решением этого уравнения является следующая функция:
q = Ae–dtcos(wt + j). (11.8)
Здесь А и j — постоянные, которые можно найти, воспользовавшись начальными условиями, а частота колебаний:
. (11.9)