Множества.
Множеством назыв. совокупность однородных элементов (объектов), удовлетворяя некоторому свойству, кот. назыв. характеристическим свойством множества. (Множество A,B)
Объекты, из кот. состоят множества назыв. элементами.
Множество A назыв. подмножеством множества B, если все элементы A явл. элементами B. (A∈ B)
Множество назыв. пустым, если оно не содержит элементов.
Множество назыв. конечным, если оно содержит конечное число элементов, например, множество целых чисел от 0 до 10.
Если число элементов множества бесконечно, то данное множество назыв. бесконечным. Например, бесконечным явл. множество точек отрезка чисел прямой A,B.
Если каждому элементу множества A можно поставить в соответствие единственный элемент множества B, и наоборот, то между этими множествами существует взаимооднозначное соответствие.
Множество A наз. счетным, если каждому его элементу можно поставить в соответствие натуральное число.
Операции над множествами.
1. Объединением множеств A и B назыв. множество элементов либо мн-а A, либо мн-ва B, либо и A, и B. (A∪B)
2. Пересечением множеств A и B назыв. множество элементов, кот. явл. и элементами мн-а A, и элементами мн-ва B. (A∩B)
3. Разностью множеств A\B наз. множество элементов мн-ва A, кот. не явл. мн-вом B.
4. Пусть заданы 2 множества A и B, причем A включается в B. Дополнением мн-ва A наз. множество элементов мн-а B, кот. не входит в A.
5. Декартовым произведением мн-ва A и B наз. множество C=A·B, состоящее из упорядоченных пар (a:b), причем a∈A, b∈B.
Предположим, что A∈[a;b]; B∈[c;d].
Квантор общности ∀x ∈ X (для любого x из мн-ва X)
Квантор существования ∃n ∈ N (существ. натуральное число n)
Числовые множества. Грани множеств.
Числовыми множествами наз. мн-ва, элементами кот. являются числа.
N={1;2…} – множество натуральных чисел
Z={0;±1;±2…} – множество целых чисел
Q={m/n; m∈Z: n∈N} – множество рациональных чисел
R=(-∞; +∞) – множество действительных чисел
Число K наз. верхней гранью мн-ва A, если для любого ∀x ∈ A выполняется неравенство x ≤ K
Число K наз. нижней гранью мн-ва A, если для любого ∀x ∈ A выполняется неравенство x ≥ K
Любое множество имеет мн-во верхних или нижних граней.
Наибольшая из нижних частей множества называется точной нижней гранью множества или инфимумом. (infA)
Наименьшая из верхних частей множества называется точной верхней гранью множества или супремумом. (supA)
A={1/n; n∈N}, supA=1, infA=0.
Последовательности.
Пусть заданы 2 множества x и y.
Говорят, что на множестве x задана функция y=f(x), если существует некоторое правило, по которому каждому элементу из множества x ставится в соответствие элемент из множества y.
Т .е. ф-ия есть соотношение между двумя множествами.
x – область определения D(t)
y – область значений E(t)
Числовой последовательностью, обозн. {xn}∞n=1, назыв. функция натурального аргумента.
Задать числовую последовательность – это значит задать правило, по кот. каждому натуральному числу n ставится в соответствие некоторый член числовой последовательности.
Пример: ; n=3 ⇒ - числовые посл-ти чаще всего задаются в виде общего члена.
Ограниченные последовательности.
Посл-ть xn называется огранич. сверху, если сущ. некоторое действительное число M, такое, что все элементы последовательности не превосходят этого числа.
{xn}∞n>1 - огр. сверху ∃M ∈ R ∀n ∈ N xn ≤ M
Посл-ть xn называется огранич. снизу, если сущ. некоторое действительное число M, такое, что любой
член последовательности ≥ M.
{xn}∞n=1 - огр. снизу ∃M ∈ R ∀n ∈ N xn ≥ M
3. Посл-ть xn называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. сущ. некоторое число
M ≠0, такое, что любой член посл-ти ≤ M.
Монотонные последовательности.
Посл-ть наз. постоянной, если все ее члены равны.
Посл-ть наз. возрастающей, если для любого натурального n каждый последующий член больше предыдущего. ∀n ∈ N xn+1 > xn
Посл-ть наз. убывающей, если для любого натурального n каждый последующий член меньше предыдущего. ∀n ∈ N xn+1 < xn
Посл-ть Xn наз. невозрастающей, если ∀n ∈ N xn+1 ≤ xn
Посл-ть Xn наз. неубывающей, если ∀n ∈ N xn+1 ≥ xn
Посл-ть наз. монотонной, если она является возрастающей или убывающей
Предел посл-ти.
Число a наз. пределом числа посл-ти {xn}, если для любого как угодно малого положит. числа E сущ. зависящий от него Ne, начиная с кот. все члены посл-ти удовлетворяют неравенству |xn – a| < E
limn→∞ xn = a ∀e > 0 ∃Ne ∀n>Ne | xn – a| < E
ε-окрестностью т. a (Oε(a)) наз. интервал (a-ε ; a+ε)
Проколотой ε-окрестностью т. a наз. объединение интервалов Oφ (a) = (a-φ ; a) ∪(a ; a+φ)
Геометрический смысл предела: то, что число a является пределом числовой посл-ти xn с геометрической точки зрения означает, что какое бы бесконечно малое число ε мы не выбрали, обязательно найдется номер числа числ. последовательности (Na), начиная с кот. ВСЕ члены посл-ти попадают внутрь ε-окрестности т.a, т.е. при любом ε вне Oφ (a) расположено только конечное число членов посл-ти, а внутри ее их бесконечное число.
Посл-ть, имеющая конечный предел, наз. сходящейся.
Критерий существ. предела посл-ти: если посл-ть xn монотонно возрастающая (убывающая) и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел, равный значению точной верхней (нижней) грани. Справедливо и обратное.
Бесконечно малые посл-ти.
Посл-ть xn наз. БМП, если её предел =0, т.е. ∀E>0 ∃Ne; n>Ne, |xn|<E
Свойства БМП:
1. Сумма конечного числа БМП есть БМП
2. Произведение огранич. посл-ти на БМП есть БМП
3. Произведение сходящейся посл-ти на БМП есть БМП
4. Произведение БМП-тей есть БМП
Замечание: при делении двух БМП полученная посл-ть необязательно явл. БМП. В этом случае возникает неопределенность вида 0/0. В результате, раскрыв данную неопр-ть, мы можем получить как число (0 тоже), так и бесконечность.
Бесконечно большие посл-ти.
Посл-ти, имеющие lim = ∞ наз. расходящимися или ББП.
Посл-ть xn наз. ББП, если limn→∞ xn = ∞, т.е. для любого как угодно большого числа K существует некоторый номер, зависящий от К, начиная с кот. все члены посл-ти удовлетворяют неравенству |xn|>K:
Xn – ББП, если limn→∞ xn ∀k > 0 ∃Nk ∀n>Nk |xn| < K
Теорема (связь между сходящейся посл-тью и БМП): посл-ть xn имеет limn→∞ =a, тогда и только тогда, когда она представлена в виде суммы xn = a+Αn, где An – БМП.
Теорема (связь между ББП и БМП): если посл-ть An – БМП, то посл-ть Bn=1/An явл. ББП; если посл-ть Bn – ББП, то An=1/Bn – БМП.
Свойства сходящихся посл-тей:
Теорема о единственности предела: если xn имеет конечный предел, то он единственен.
Пусть заданы 2 сходящиеся посл-ти: xn, имеющая limn→∞ =a и посл-ть yn, имеющая limn→∞ =b, тогда:
(xn ± yn) также явл. сходящейся, причем limn→∞(xn ± yn) = limn→∞xn ± limn→∞yn = a ± b
(k · xn) явл. сходящейся, причем limn→∞(k · xn) = k · a
(xn · yn) явл. сходящейся, причем limn→∞(xn · yn) = limn→∞xn
Если посл-ть yn не явл. тожд. ≠ 0 и b≠0, то (xn/yn) явл. сходящейся, причем limn→∞(xn/yn) = limn→∞xn/limn→∞yn = a/b
Предел постоянной посл-ти равен самой постоянной.
Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
Пусть задана некоторая сходящаяся посл-ть xn, для кот. известно, что все ее члены кроме, быть может, конечного числа членов, больше 0. Тогда limn→∞xn ≥ 0.
Замечание: аналогичную теорему можно сформулировать для посл-ти с отрицательными членами. Тогда limn→∞xn ≤ 0.
Пусть заданы 2 сходящиеся посл-ти: xn; lim n→∞ xn = a и yn; lim n→∞ yn = b. Если члены посл-ти удовлетворяют неравенству xn<yn, то lim n→∞ xn ≥ lim n→∞ yn.
Т еорема о двух милиционерах. Пусть заданы 3 посл-ти: xn, yn, zn, причем посл-ти xn и zn явл. сходящимися и их предел = a. Если для членов посл-ти справедливо неравенство xn≤yn≤ zn, то посл-ть yn также явл. сходящейся и lim n→∞ yn = a.
Второй замечательный предел.
Рассмотрим xn = (1+1/n)n и найдем предел данной последовательности. Данная посл-ть представляет собой неопределенность вида 1∞ . lim n→∞(1+1/n)n = e ≈ 2,12.
Правила раскрытия неопределенности ∞/∞
lim n→∞Pk(n) / Qm(n)
Для того, чтобы раскрыть неопр-ть ∞/∞ при делении многочленов прежде всего необходимо определить степени этих многочленов:
Если степень многочлена в числителе = степени многочлена в знаменателе, то предел = отношению старших коэффициентов, т.е. чисел при старших степенях.
Если степень числителя > степени знаменателя, то lim=∞.
Если степень числителя < степени знаменателя, то lim=0.