Основные формулы к разделу 5.

5.1 Точка безубыточности производства А (V₀; D₀) представляет собой точку пересечения прямых

D = З_с + К × V и D¹ = Ц × V

Ее координаты равны:

V₀ = З_с : (Ц – К) D₀ = Ц × З_с : (Ц – К)

При V > V₀ предприятие в прибыли

V < V₀ предприятие в убытке

Однако вследствие действия закона убывающей отдачи ресурсов условная прямая D = З_с + К × V переходит в кривую и вторично пересекает прямую D¹ = Ц × V в точке А₁.

D, D¹

А₁

А А₂

D₀ D

З_с ׀

׀

D¹ ׀

V₀ V_опт V

(рис. 2)

В строгом смысле коэффициент К – переменная величина, зависящая от объема производства.

5.2 Максимальная прибыль достигается при оптимальном объеме производства (V_опт) в точке А₂, где тангенс угла наклона касательной к кривой АА₁ равен тангенсу угла наклона прямой D¹ = Ц × V. Этот оптимальный объем производства товаров (услуг) рассчитывается экспериментально.

5.3 Принятие решений с использованием численных значений вероятностей исходов приведено в задаче.

Владелец магазина в начале каждого дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 50 руб. за единицу. Цена реализации 60 руб. за единицу. Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицам. Если продукт в течение дня не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 30 руб. за единицу. Сколько единиц продукта должен закупать владелец каждый день?

Таблица возможных доходов за день.

Возможные исходы: спрос в день	Возможные решения: число закупленных для реализации единиц товара 1 2 3 4
1	10 - 10 - 30 - 50
2	10 20 0 - 20
3	10 20 30 10
4	10 20 30 40

Пояснение к заполнению таблицы.

В клетке 1.2 спрос – 1 единица, для реализации закуплено 2 единицы. Поэтому возможный доход для этой клетки:

60 руб. × 1 + 30 руб. × 1 – 50 руб. × 2 = - 10

Пусть в течение 100 дней спрос 1 наблюдался 15 раз, 2 – 30 раз, 3 – 30 раз, 4 – 25 раз, т.е. известна частота каждого исхода.

Составим таблицу распределения вероятностей возможных исходов:

Возможные исходы	1	2	3	4	Сумма
Частота вероятность, Р	15 0,15	30 0,30	30 0,30	25 0,25	100 1

Вычислим математическое ожидание М(Х) дохода (средний ожидаемый доход) и определим, для какого решения оно максимально.

n

М(Х) = ∑ Х_i P _i

i = 1

Решение 1.

Возможный доход, Х	10	10	10	10
вероятность, Р	0,15	0,30	0,30	0,25

Решение 2.

Возможный доход, Х	- 10	20	20	20
вероятность, Р	0,15	0,30	0,30	0,25

Решение 3.

Возможный доход, Х	- 30	0	30	30
вероятность, Р	0,15	0,30	0,30	0,25

Решение 4.

Возможный доход, Х	- 50	- 20	10	40
вероятность, Р	0,15	0,30	0,30	0,25

М₁(Х) = 10 × 0,15 + 10 × 0,30 + 10 × 0,30 + 10 × 0,25 = 10

М₂(Х) = -10 × 0,15 + 20 × 0,30 + 20 × 0,30 + 20 × 0,25 = 15,5

М₃(Х) = -30 × 0,15 + 0 × 0,30 + 30 × 0,30 + 30 × 0,25 = 12

М₄(Х) = -50 × 0,15 - 20 × 0,30 + 10 × 0,30 + 40 × 0,25 = - 0,5

Таким образом, максимальный средний ожидаемый доход равен 15,5 рублей в день, который получается при решении 2, соответствующем закупке двух единиц товара.

5.4 Один из способов определения будущего спроса – это проведение маркетинговых исследований с целью получения информации о покупательских предпочтениях потребителей. Подобные попытки увеличат затраты на ведение бизнеса. Ответим на вопрос, сколько средств можно позволить потратить на получение информации об ожидаемом уровне спроса?

Так как из приведенной задачи известны вероятности различных значений спроса, то ожидаемый доход в условиях полной информации равен: 0,15 × 10 + 0,30 × 20 + 0,30 × 30 + 0,25 × 40 = 26,5 (руб.).

Лучшее, что мог сделать владелец магазина при отсутствии информации – это закупать для реализации 2 единицы товара с целью максимизации ожидаемого дохода. Тогда его ожидаемый доход равен 15,5 рублей в день. Он имеет возможность увеличить ежедневный доход до 26,5 рублей, затратив дополнительную сумму денег (не свыше 26,5 – 15,5 = 11 (руб. / день) на маркетинговые исследования.

Разница между ожидаемым доходом в условиях определенности и в условиях риска называется ожидаемой стоимостью полной информации.