40 Волны де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера.

Во́лны де Бро́йля — волны, связанные с любыми микрочастицами и отражающие их волновую природу.

В 1924 году французский физик Луи де Бройль высказал гипотезу о том, что установленный ранее для фотонов корпускулярно-волновой дуализм присущ всем частицам — электронам, протонам, атомам и так далее, причём количественные соотношения между волновыми и корпускулярными свойствами частиц те же, что и для фотонов. Таким образом, если частица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которого равно , то с ней связана волна, частота которой и длина волны , где h — постоянная Планка. Эти волны и получили название волн де Бройля.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью (скорости света), импульс равен (где m — масса частицы), и . Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше масса частицы и её скорость. Например, частице с массой в 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с м, что лежит за пределами доступной наблюдению области. Поэтому волновые свойства несущественны в механике макроскопических тел. Для электронов же с энергиями от 1 эВ до 10 000 эВ длина волны де Бройля лежит в пределах от ~ 1 нм до 10−2 нм, то есть в интервале длин волн рентгеновского излучения. Поэтому волновые свойства электронов должны проявляться, например, при их рассеянии на тех же кристаллах, на которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей.[1]

Опыт Дэвиссона-Джермера — физический эксперимент по дифракции электронов, проведённый в 1927 г. американскими учёными Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером.

Идея опыта

Проводилось исследование отражения электронов от монокристалла никеля. Установка включала в себя монокристалл никеля, сошлифованный под углом и установленный на держателе. На плоскость шлифа направлялся перпендикулярно пучок монохроматических электронов. Скорость электронов определялась напряжением U на электронной пушке:

Под углом к падающему пучку электронов устанавливался цилиндр Фарадея, соединённый с чувствительным гальванометром. По показаниям гальванометра определялась интенсивность отражённого от кристалла электронного пучка. Вся установка находилась в вакууме.

В опытах измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния от азимутального угла , от скорости U электронов в пучке.

Опыты показали, что имеется ярко выраженная селективность (выборочность) рассеяния электронов. При различных значениях углов и скоростей, в отражённых лучах наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности. Условие максимума:

Здесь d — межплоскостное расстояние.

Таким образом наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке монокристала. Опыт явился блестящим подтверждением существования у микрочастиц волновых свойств.

41.Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределенностей^{[* 1]} задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, p_у, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям    (215.1)

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Соотношение неопределенностей, отражая специфику физики микрочастиц, позволяет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической механики к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (215.1) в виде    

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопределенности этих величии удовлетворяют условию                                                       (215.5)

Подчеркнем, что DЕ — неопределенность энергии некоторого состояния системы, Dt — промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Dt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии DE=h/Dt возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (215.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность Dn = DE/h, т. е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной n ± DE/h..Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

42 билет. Волнова́я фу́нкция- комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Амплитуда вероятности: Квадрат этой амплитуды определяет вероятность того, что частица попадает в пространство -вероятность. Тогда вероятность нахождения частицы в объёме . 𝜓-функция должна удовлетворять: 1) должно соблюдаться условие нормировки; 2) она должна быть конечной; 3) однозначной; 4) непрерывной. уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Уравнение Шредингера: , где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

43.Стационароне уравнение Шредингера.Движение свободной микрочастицы.Стационарное уравнение Шредингера.Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

(217.1)

где ℏ=h/(2p), т - масса частицы, D - оператор Лапласа

i - мнимая единица, U (х, у, z, f) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y (х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы , движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<c. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной ; 2) производные должны быть непрерывны; 3) функция |Y| должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид :x(х, t) = Acos(wt-kx), если в комплексной записи x(x, t) = Aei(wt-kx). Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид

(217.2)(учтено, что w = E/ℏ, k = p/ℏ). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Y|2, то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

(217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р (Е = р2/(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U = 0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения в используя взаимосвязь между Е и р (для данного случая р2/(2m) = Е-U), придем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредннгера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Y от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частила движется, стационарно, т. е. функция U = U(х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

(217.4)

где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель е и соответствующих преобразовании придем к уравнению, определяющему функцию y:

(217.5)Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ф. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерыввый, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.Свободная частица - частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид

(219.1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция y(x) = Aeikx, где A = const и k = const, с собственным значением энергии

(219.2)Функция y(x) = Aeikx = Ae(i/k)Ö2mEx представляет собой только координатную часть волновой функции Y(х, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217.4),

(219.3)(здесь w = E/ℏ и k = px/ℏ). функция (219.3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля (см. (217.2)).

Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

44.Микрочастица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины.

В квантовой физике частица, движущаяся в свободном пространстве, может обладать любой энергией. У частицы, которая движется в словом поле, удерживающем её в ограниченной области, движение будет дискретным. Частица не может покинуть область размером L. Она движется отражаясь от стенок. С волновой точки зрения между стенками во встречном направлении движутся 2 волны.

, (n=1,2,3…).

Стационарным состоянием частицы, запертой в потенциальной яме, соответствует дискретный набор длин волн; связав с импульсом получим ;

а импульс определяет энергию движения частицы

– квантово-механический расчёт.