- •Частные производные
- •Полное приращение и полный дифференциал
- •Частные производные высших порядков
- •Доказательство
- •5) Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •6) Производная сложной функции
- •Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •Неинвариантность дифференциалов высшего порядка
- •Дополнения
- •Решение
- •Описание метода
- •Обоснование
- •Двумерный случай
- •Двойной интеграл обозначается
- •4. Некоторые свойства двойного интеграла.
- •5. Вычисление двойного интеграла. Пусть область
- •15) Основные свойства двойного интеграла
- •17) Двойной интеграл в полярных координатах
- •19) Понятие о числовом ряде
- •Свойства сходящихся рядов
- •Доказательство
- •23) Признак Даламбера
- •Обобщенный гармонический ряд
- •Сумма ряда
- •30) Функциональные ряды
- •Степенные ряды
- •32. Интервал и радиус сходимости
- •33. Свойства степенных рядов
- •35. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •36. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов
15) Основные свойства двойного интеграла
Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.
1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2, причем
2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) +β · g(x, y)] также интегрируема в области D, причем
3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.
4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то
5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем
(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)
6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула
(11)
В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (ξ, η), что μ = f(ξ, η), и формула (11) принимает вид
7°. Важное геометрическое свойство. равен площади области D (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости, данного в пункте Определение и существование двойного интеграла для произвольной области)
16) О: Область D называется правильной в направлении оси OY (ОХ), если любая прямая, параллельная оси OY(OX) и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает ее границу в двух точках.
Рис. 23.3
Рис. 23.4
Граница области D, правильной в направлении оси OY (рис. 23.3), может быть задана уравнениями
и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле
(23.5)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл
в котором х считается постоянной. Выражение справа в (23.5) называется повторным, или двукратным интегралом.
Граница области D, правильной в направлении оси ОХ (рис. 23.4), может быть задана уравнениями:
Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле
(23.6)
Если область D правильная в направлении ОХ и OY (правильная область), то применимы обе формулы.
Рассмотрим геометрический смысл формулы (23.5), для формулы (23.6) рассуждения аналогичные (вывод формул приведен в [6. С. 310]).
Предположим, что и граница области D является правильной в направлении оси OY.
Из разд. 23.1
Подсчитаем теперь объем V методом поперечных сечений (см. п.18.2.1):
(23.7)
Проводя через т. (х,0,0) плоскость перпендикулярно оси ОХ, получим в сечении криволинейную трапецию
(рис. 23.5), с площадью
для точек линии при постоянном х зависит только от у:
- (23.8)
площадь поперечного сечения цилиндрического тела. Подставляя (23.8) в (23.7), получаем
Рис. 23.5
Таким образом, в формуле (23.7) слева и справа имеем объем цилиндрического тела.
Формулы (23.5) и (23.6) выведены в предположении, что область имеет специальный вид.
В общем случае область D разбивают на конечное число частей, являющихся правильными, и вычисляют для каждой из частей интеграл по формуле (23.5) или (23.6). Интеграл по всей области (свойство 3°) равен сумме полученных интегралов.
Если область ГУ. то формулы (23.5) и (23.6)
примут вид
Пример:
Решение разбивается на три этапа:
1) построение области D;
2) переход к повторному интегралу, расстановка пределов интегрирован ия;
3) вычисление повторного интеграла.
Решая систему находим т. пересечения параболы
и прямой (1, 1), (-2, 4). Строим область, (-2, 4) D (рис. 23.6). Так как область правильная, то можно воспользоваться формулами (23.5) и (23.6).
При решении по (23.5) область придется разбить на две: ОВС и СВА, так как линия ОБА задается разными уравнениями:
Рис. 23.6
При вычислении по формуле (23.6) приходим к одному повторному интегралу Закончим
решение, пользуясь последней формулой: