- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
9.2.3. Площадь поверхности вращения
Пусть дуга AB кривой у = f (x) вращается вокруг оси Oх (рис. 9.12). Элемент дуги кривой dl описывает поверхность, близкую к поверхности усеченного конуса. Считая точку х лежащей на середине dx, получим площадь поверхности этого элементарного конуса по формуле усеченного конуса
,
где dl − дифференциал дуги плоской кривой. В нашем случае она имеет уравнение y = f (x), тогда
,
а вся поверхность получится интегрированием
.
Рис. 9.12
9.3. Механические приложения кратных интегралов
Пусть в пространстве R3 задано тело T с элементом объема dV (рис. 9.13). Тогда масса этого элемента может быть вычислена по формуле
,
де – функция плотности. Тогда вся масса тела
.
Рис. 9.13
Элементарный статический момент относительно плоскости хOу
.
Момент всего тела относительно плоскости х0у
.
Аналогично находятся моменты относительно других плоскостей:
,
.
Из механики известны формулы для вычисления координат центра тяжести тела
где m – масса тела; – статические моменты относительно плоскостей координат. Тогда
.
Аналогично вычисляются и .
Моменты инерции относительно осей координат соответственно равны:
,
,
.
9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
Масса неоднородного стержня с линейной плотностью (рис. 9.14) вычисляется по формуле
Рис. 9.14
Заряд, распределенный вдоль диэлектрического стержня с линейной плотностью q(x), вычисляется аналогично массе неоднородного стержня
Количество тепла, сосредоточенного в неравномерно нагретом стержне, вычисляется столь же просто:
где с – удельная теплоёмкость единицы массы; s – площадь сечения стержня (s = const); γ – плотность массы материала стержня; Т – температура.
Подумайте, что изменится, если s = s(x).
Р абота А упругого элемента (пружины) при растяжении из свободного состояния, когда конец элемента имеет абсциссу x = 0, до того положения, когда его конец будет иметь абсциссу x = h (рис. 9.15), вычисляется следующим образом.
Сила F, уравновешивающая растянутый упругий элемент, равна cx: F = cx, где с – жесткость пружины (положим для простоты с = const).
Тогда
Подумайте, каков геометрический смысл связи графиков силы F(x) и работы A(x).
1 Якоби К. (1804-1851) – немецкий математик.