- •5. Частные производные 2-го порядка.
- •4. Теоремы о дифференцировании сложной функции 2ух переменных.
- •6. Экстремум функции 2ух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных.
- •8.Свойства неопределённого интеграла
- •26. Понятие несобственных интегралов II рода. Пример интеграл Дирихле II рода.
- •27. Понятие дифференциального уравнения I порядка, его общего и частного решения
- •7.Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
- •9.Метод замены переменной, метод поднесения под знак дифференциала. Примеры.
- •10.Метод интегрирования по частям. Примеры.
- •31. Структура общего решения линейного однородного
- •32. Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)
- •33. Структура общего решения линейного неоднородного
- •34. Метод вариации произвольной постоянной.
- •11.Двукратное интегрирование по частям на примере
- •12.Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.
- •35. Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.
- •36. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида
- •37.Необходимый признак сходимости ряда.
- •38. Признаки сравнения для знакоположительных рядов.
- •42.Признак Лейбница
- •41.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости. Знакочередующиеся ряды Лейбницевского типа
- •40.Интегральный признак Коши для знакоположительных рядов. Пример исследования сходимости обобщенного гармонического ряда
- •28. Ду с разделяющимися переменными. Пример
- •30. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка и уравнения Бернулли.
- •16 Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.
- •18 Свойства определенного интеграла.
- •17.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.
- •15.Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка. Примеры.
- •20.Теорема о среднем.Её геометр. И эк.Интерпритац.
- •22.Формула Ньютона-Лейбница.
- •23.Замена перемен. В опред.И.Интегрир.По частям
- •1.Понятие фнп.Ее обл определения. Пределы фдп в точке. Непрерывность фдп в точке. Примеры
- •2.Частное приращение фдп. Частная производная фнп по одной из этих переменных. Примеры
- •3. Полное приращения фдп. Дифференциал фнп. Формула приближенных вычислений. Геометр смысл диф-ла.
- •21.Теорема об и с переменным верхним пределом
- •24.Вычисление площадей плоских фигур.
- •29. Геометрическая интерпретация общего решения и решения задачи Коши.
- •14.Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби. Примеры
5. Частные производные 2-го порядка.
Пусть в некоторой окрестности точки (x0 ,y0) задана функция f(x,y). Фиксируя переменную y(y=y0), получим функцию одной переменной x: f(x,y0). Обычная производная этой функции в точке x=x0 называется частной производной функции f(x,y) в точке (x0,y0) по x и обозначается
Т.о,
Если вспомнить определение производной функции одной переменной, то
Или, если ввести обозначение
f(x0 + Δx, y0) – f(x0, y0) = Δxf
Где Δxf – приращение функции по переменной x, то
Аналогично вводится частная производная по y:
Или
Где Δyf – приращение функции по y.
и - единые символы, так как в них числитель и знаменатель не имеют самостоятельного смысла. По аналогии с функциями 1ой переменной линейные функции и , переменных dx и dy, называемых дифференциалами независимых переменных, называются частными дифференциалами функции f(x,y) соответственно по переменным x и y обозначаются так:
Аналогичные определения имеют место для любого числа переменных.
Для нахождения частной производной функции 2ух переменных по переменной x(y) необходимо применять правило дифференцирования и таблицу производных для функции 1ой переменной считая всё что x(не y) константой.
4. Теоремы о дифференцировании сложной функции 2ух переменных.
Теорема1.
Если Ƶ=f(x,y) и x=x(t), y=y(t), то производная
Если в функцию Ƶ подставить вместо х и у соответствующие функции, зависящие от переменной t, то в результате получим Ƶ(t), дифференцируя которую по t, и получим ответ Ƶ’t=Ƶ’= ;
Теорема 2.
Если функция Ƶ – функция 2ух переменных, которые в свою очередь являются также функциями 2ух переменных, то для функции Ƶ можно найти 2е частные производные по u и v.
Если до дифференцирования в исходную функцию Ƶ вместо x и y подставить зависимость от u и v
, то в результате получим функцию 2ух переменных u и v =Ƶ (u,v), поэтому необходимо найти 2е производные.
Производные высших порядков.
Для 2ух переменных: Ƶ = f(x,y) :
Ƶ ‘x = 2) Ƶ ‘y =
Ƶ “xx = 1.2) Ƶ “xy = 2.1) Ƶ “yx = 2.2) Ƶ “yy =
1.2 и 2.1 – вторые смешанные производные функции2ух переменных.
Теорема: при условии существования непр-ти частных смешанных производных справедливо равенство 1.2 и 2.2, т.е порядок дифференцирования не влияет на результат. Эту теорему можно обобщить и на производные более высокого порядка:
6. Экстремум функции 2ух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных.
Т
Ɛ M0
очка М0 называется точкой локального минимума для функции Ƶ = f(x, y), если для любой точки М є Ɛ окрестности точки М0 справедливо неравенство:
В окрестности множество точек, лежащие внутри
Круга с центром в точке М0 и радиусом Ɛ. (Ɛ→0)
Аналогично определяется и локальный максимум: точка М0 – точка локального максимума для функции Ƶ = f(x, y), если для любой точки М из Ɛ окрестности точке М справедливо неравенство:
На практике для нахождения экстремумов необходимы 2 условия в виде теорем:
Теорема 1. (необходимое условие существования экстремума в точке М0)
Если М0 – точка локального экстремума, то в точке М0 1ые производные функции 2ух переменных обращаются в 0.
Несмотря на то, что это условие является необходимым, оно используется для выбора среди точек из области определения ряда точек, в которых может быть экстремум. Конкретно для выбора экстремальных точек среди уже отобранных с помощью Теоремы 1 , применяется Теорема 2(критерий Сильвестра).
Теорема 2. Функция Ƶ = f(x, y) имеет в М0 экстремум, если определитель 2го порядка, состоящий из всевозможных 2ых производных функции 2ух переменных и вычисленный в этой точке М0 >0. >0
⃒M0=(x0, y0)
Характер экстремума определяется по 1му элементу, а именно, если , то в точке М0 достигается минимум, если , то в точке М0- максимум.
Если при вычислении Δ он окажется < 0 , то в точке М0 экстремума нет, если Δ = 0, то вопрос о существовании экстремума в точке M0 остается открытым – нужны дополнительные исследования.
Ввиду того, что = ( при выполнении условия теоремы) критерий можно переписать в следующем виде: Δ = 2⃒М0