26. Понятие логической функции. Способы задания логических функций.

Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения : 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может

принимать только два значения : 0 или 1.

Способы задания функций алгебры логики АЛ

Логической  функцией называется зависимость поведения выходных логических величин от изменения входных логических величин.

Задачей алгебры логики является поиск математического или функционального представления логических функций с целью ее непосредственного использования для управления объектом или процессом.

Имеются различные способы представления логических взаимодействий.

Табличный способ. При этом способе функция задается в виде таблицы истинности, представляющей собой совокупность всех комбинацийвходных переменных (левые столбцы) и соответствующих им значений функции (правый столбец).

Таблица истинности содержит 2ⁿ строк, n +m  столбцов (количество входов n+количество выходовm).

Например: пусть требуется задать функцию двух переменных, т.е. дискретное устройство на два входа и на один выход, следовательно, число столбцов = 2+1, а число строк = 4.

x	y	A
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

       

 

Таблица. 3.2Пример таблицы истинности

Таблицы истинности возможно составить по условиям задания. Задание на управление для выше приведенного примера может выглядеть следующим образом: лампа А горит только тогда, когда одновременно нажаты обе кнопки x и y.

Таблицы истинности позволяют автоматизировать поиск искомой логической функции в математическом виде.

Словесно-аналитический способ задания функции алгебры логики.

При этом способе функция задается в виде аналитического выражения.В левой части высказывания указывается действие управляемого привода (или исполнительного устройства), а в правой части- условие, при котором выполняется это действие.

Аналитическое выражение задается в возможно более краткой форме. Некоторые подразумеваемые слова могут опускаться, например, такие как «кнопка», «нажать», «активен» и другие. Название датчиков и кнопок возможно заменять их схемным обозначением. При этом указание на датчик означает то, что этот датчик изменил свое состояние на активное (логическая 1).

Ударение делается на союзы предложения, которые, в большинстве случаев, указывают на логическое действие.

Р ис. 3.3 Пример аналитического задания логической функции

 

В данном примере описана работа распределителя, с помощью которого производиться управление цилиндром.Электромагнит Y1 включиться (соответственно цилиндр начнет  свое движение), если будет нажата кнопка S1 и датчикB1 активен. Союз и указывает на логическое взаимодействие сигналов управления от кнопки и датчика.

Для поиска несложных логических функций аналитический способ является наиболее простым и быстрым. Однако, этот способ в большей степени основан на интуиции. Поэтому для поиска сложных функций он не используется.

Графические способы.

Для графического описания логических взаимодействий можно использовать разные способы, предлагаемые стандартом IEC 848: шаговая, временная диаграмма, логические функциональные схемы, функциональный план.

При взаимодействии нескольких приводов наиболее наглядным средством установления логических взаимосвязей является шаговая диаграмма.

Рис. 3.4 Пример шаговой диаграммы

В шаговой диаграмме различают линии состояния или положения привода (в данном случае это линия, описывающая перемещение цилиндра) и линии управляющих сигналов. Отличием от временной диаграммы является то, вместо временной оси здесь использованы шаги- условные временные отрезки. Длина шага не пропорциональна реальному времени, а связанна с одним действием управляемого объекта. Сигналы взаимодействуют друг с другом (сливание потоков информации) по определенному логическому закону. Каждое логическое действие имеет собственное обозначение. Достоинством шаговой диаграммы является наглядность связей взаимодействия приводов и сигналов управления между собой во времени.

В ременные диаграммы важны для изображения динамически изменяющихся процессов. Горизонтальная ось является временной. Временные диаграммы удобны для изображения динамических процессов, которые быстро изменяются во времени. Они позволяют визуально анализировать реакцию выходных величин на изменение входных.

Рис. 3.5 Пример временной диаграммы

Из диаграммы следует, что лампа Н1 «горит» тогда, когда нажата кнопка S1 и не нажата кнопка S2.

Лампа Н2 «горит» тогда, когда нажата кнопка S2 и не нажата кнопка S1.

Логические функциональные блок-схемы состоят из логически связанных между собой отдельных функциональных блоков, которые являются обозначениями элементарных логических функций.

  Рис. 3.5 Пример логической функциональной блок-схемы

Логические функциональные блок-схемы обладают всеми достоинствами графического изображения- это наглядность связей логических функциональных блоков. Недостатком данных схем является сложность прослеживания изменения сигналов во времени. Логические функциональные блок-схемы являются одним из самых распространенных языков программирования в промышленности. Напомним, что целью алгебры логики является получение математического или функционального изображения функции.

Функциональный план является графическим средством отображения по-шагового управления процессом. Весь процесс управления разбит на отдельные шаги (минимальные части процесса управления), которые осуществляются при выполнении определенных условий. Функциональный план является языком программирова ния.

Рис. 3.6  Пример функционального  плана

Математическое представление алгебры логики. Элементарные логические действия можно представить с помощью специальных или арифметических символов (AND:, · ;OR: , +; NO:a`), обозначающих логические действия. Используя законы алгебры логики, возможны преобразования математических выражений логических функций.

Булеву функцию можно задать с помощью единичного п – мерного куба (рис. 7).

Рис. 7

Единичным п – мерным кубом называется граф, каждая вершина которого взаимно однозначно соответствует двоичному набору. Две вершины соединены ребром, если соответствующие наборы отличаются только в одном разряде (в одной координате).

На рис. 7 показаны п-мерные кубы для булевых функций: двух переменных (а), трех переменных (б), четырех переменных (в).

Отметив вершины, в которых булева функция принимает единичные значения, получим геометрическое представление булевой функции. Так функция примет вид:

Рис. 8

Часто для изображения булевых функций двух и трех переменных используют прямоугольную систему координат:

Рис. 9

Изображение булевых функций числа переменных более трех в этом случае невозможен.

В методе минимизации булевых функций Квайна – Мак- Класки используется кубическое представление булевых функций (аналог п-мерных кубов).

Терм максимального ранга принято называть 0-кубом и обозначать К ⁰. Если два 0-куба из комплекса К ⁰ различаются только по одной координате, то они образуют куб (отрезок) K ¹.