12. Вектора. Коорд вектора в декартовой системе координат.

Расстояние между началом и концом – длина вектора(модуль вектора). Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна 1 – единичный. Веекторы, параллельные одной прямой - коллинеарные. Они могут быть направлены одинаково или противоположно. Вектор – направленный прямолинейный отрезок.У нулевого вектора начало и конец совпадают. Равные векторы называют свободными. Три вектора в пространстве называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельныхплоскостях.Если среди векторов хотя бы один нулевой или 2 любых коллинеарны, то такие векторы компланарны. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства. Линейные операции над векторами: сложение с числом; вычитание числа; умножение на число. Сумма векторов: с = а+в. (начало а, конец в). Св-ва линейных операций над векторами: коммутативность(а+в=в+а); ассоциативность(а+(в+с)=(а+в)+с); м(а+в) = ма+мв; (м+п)а=ма+па(дистрибутивность); м(па)=(мп)а. Проекция вектора АВ на ось л это длина вектора АВ, где А-штрих и В-штрих – проекции А и В на ось л. Взятые со знако м + если напрвление то же, со знаком минус – в противоположном случае. Проекция АВ равна длине АВ* косинус угла между вектором и осью. Проекция суммы векторов – сумма проекций. Декартова система координат. В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками. Кординаты вектора. Зададим в трехмерном пространстве точку М. ОМ – радиус-вектор точки М. Проекция ОМ на оси координат – координаты вектора в сиситеме координат ОХУZ и обозначаются буквами соответственно икс игрек зэт. Вектор ОМ – диагональ параллелепипеда, постоенного на векторах Оа ОВ и ОС.

13. Направляющие косинусы вектора

Пусть образует угол α с осью ОХ , угол β с осью ОУ, угол γ с осью ОZ. Рассмотри проекции:

=Пр =

=Пр

=Пр =

Отсюда выразим косинусы:

= = =

углов, образованных вектором с положительными координатными полуосями, называют направляющими косинусами вектора.

Вектор с координатами ( сонаправлен, т.е. имеет одно и то же направление, с с вектором и имеет единичную длину. Легко увидеть, что сумма квадратов этих векторов: cos² α + cos² β+ cos² γ=( )² + ² + ² = )² = 1

14. Скалярное произведение векторов. Его свойства.

Скалярное произведение двух векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

Скалярным произведением вектора на вектор называют число обозначаемое ( , ), и определяемое формулой ( , )= cos φ,

где φ – угол между векторами и Если даны координаты векторов, то скалярное произведение можно вычислить следующим образом: ( , )=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.

Угол между векторами можно найти, используя формулу cos φ=

Свойства скалярного произведения:

1. ( , )= )

2. (α , α( , )

3. ( )=( )+( )

4. ( )=

5. ( , )=