2.5 Сигналы в исследуемых системах

ИС нах. под воздействием внеш. среды, кот. опред. сигналами x_i, возмущениями f_j, любого произвольного хар-ра, некоторыми промежуточными (внутр) сигналами v_l, выходными сигналами y_k.

Эти сигналы м.б. разл. видов.

В общем сл. все сигналы случайные, но для решения задач нек. м.б. интерпретированы как детерминированные.

Какие вер-ые хар-ки:

- мат. ожидание Mx(t)

- дисперсия Dx(t)

- корелляционная ф-я Kx(t₁, t₂)

- спектр. плотность Sx( )

- нестационарность отн. Mx(t) - нестац-ть отн. Dx(t) - нестац-ть отн. Kx(t1, t2)

Для НСП все хар-ки явл. ф-ями времени, и Kx и Sx связаны с моментом и разложениями. Kx опр-т внутр. структуру. Отн. спектра тоже можем сказать, что он разный в разных частотах (3-й график). При иссл-и систем СП м.б. и ССП и НСП. В чем особ-ть ССП?

- постоянство Mx и Dx и кор ф-и  и спекрт. состава

Как можно опр-ть хар-ки? Какой использовать механизм в системе, где процессы нестац?

Исслед-е любых систем, в кот. имеют место воздействия случ. хар-ра всегда очень сложное. Оно требует спец. методов. Но большую сложность при иссл-и системы составляют сигналы, относящиеся к нестац., т.к. очень ограничен аппарат, а имеющийся аппарат позволяет получить рез-ты, обладающие высокой погрешностью. Поэтому как правило всегда стараются путем тех или иных преобразований перейти от иссл-ия систем в классе нестационарных к иссл-ию систем в классе стац. сл. процессов. Здесь аппарат значит. шире и точность выше.

В свою очередь ССП в зав. от того, какими св-вами обладают, делят: 1) (св-во эргодичности) эродические и 2) неэргодические.

Как найти хар-ки ССП: усреднение по мн-ву (чем больше, тем лучше). Если мы может усреднить по времени, то говорят, что СП обладают св-вом эргодичности. Нас они и интересуют.

1) (1)

2) (2)

3) (3)

где

- интервал корреляции

4) (4)

Мы можем говорить об оценках:

, , ,

Кор ф-ии тех. сигналов, кот. исп. в системах, имеют соотв. анал. вид. Чаще всего – падающая экспонента.

(5) – это типовые ССП

≈0

- интервал корреляции

Наряду с (5) исп.:

(6)

- это пар-р, кот. явл. пар-ром и ССП и наз. коэф-том затухания.

Если длина Т конечна и если мы работаем с шагом квантования t, то:

N=T/t +1; и можем говорить об оценках: (7)

(8)

= (9)

N-1 и N-k-1 связано с ликвидацией смещенности оценок.

От кор. ф-и обычно переходит к нормированной кор. ф-и: НКФ:

(10), где

С увеличением выборки нормированные зн-я приближаются к идеальным. Как получать и задавать случ. посл-ти? Xt, где t=0, 1, 2, … N

Для получ-я случ. послед-тей с требуемыми хар-ками Mx, Dx, Kx(k) необход. восп-ся опред. алгоритмом преобраз-я сигнала. ν_j - незав. норм. вел-ы с M[ν_j]=0 и D[ν_j]=1

νj – это белый шум

Алгоритмов известно достаточно много, но наиб. распр-ны метод скользящего суммирования , метод рекуррентных разностных уравнений, метод с исп ур-й формирующего фильтра.

Но к настоящ. времени получено большое кол-во моделей получения сл. послед-тей. Одна из них – это АР модель: (авторегрессионная)

(11), где

α_i, μ, β – параметры АР – модели (задаваемые), z_t – дискретный белый шум с соответствующими хар-ками M[z_t]=0; M[z_t²]=1.

АР-модель – это универсальная модель. Через нее можно представить любую сл. послед-ть.

(**)

n – это не порядок АР; n6, удобно взять n=12

К онтрольный тест: n=1

α=0,9

μ=0

β=1

μ –Mx AP

Dx= β/(1- α₁² ) - это тоже контр. пар-р (точность зн-я)

(*)

α i -

μx – пар-ры АР модели

β –

n – порядок модели

Если пар-ры АР модели заданы, то весь процесс авторегрессии строится на процессе дискр. белого шума.

С увеличением объема выборки оценки стремятся к их наст. зн-ям ( )

Оценка сравнивается с теор. зн-ем: целесообразно исп. нормированную кор. ф-ю.

- дисперсия, а она не const целесообразно привязываться единичному базису

Процесс АР второго порядка.

Xt=α₁(x_t-1-μ_x)+ α₂(x_t-2-μ_x)+ μ_x+ βZt (**) (здесь ПОС  расходится)

(θ, β)=( α₁, α₂, μ_x, β)

(12), для k0

корни хар-ого ур-я:

Корни м.б. любого любого порядка; |p|<1 все корни д.б. внутри круга единичного радиуса

Другие алгоритмы получении белого шума:

- метод отбраковки Фон-Неймана: если взять 2 равн. распр-ых числа и уд. усл.: lnU₂≤2b²(U₁-0.5)², то Zt=b(2U₁-1)

b – это пар-р, в ч.сл. b=3

- алгоритм в соотв. с методом Муллера:

Zt=(-2lnU₁)^1/2cos(2πU₂) или Zt=(-2lnU₁)^1/2sin(2πU₂)

U₁ и U₂ – 2 случ. числа, норм. распр-х от 0 до 1.

- тот же дискретный белый шум

Метод скользящего суммирования.

В соответствии с этим методом получение м.б. предст. след. обр-м: (в первый мом. вр.)

x(t)=c₁ν₁+c₂ ν ₂+…+с_m ν _m;

x(2t)= c₁ ν ₂+c₂ ν ₃+…+с_m ν _m+1;

……………………………….

x(kt)= c₁ ν _k+c₂ ν _k+1+…+с_m ν _m+k-1; (*)

……………………………….

(1)

Если k=1, 2…, то можем получить нашу случ. посл-ть сколь угодно большей длины. Для того, чтобы воспольз. сист. (1), нам не известны коэф-ты Ci и не известно число этих коэф-тов m. Эти вел-ны д.б. связаны с требуемыми вероятными хар-ками.

K x( m)=0 m=mt (2) Число m=5, 10, 15, 20 и т.д. Всё опред-ся той вел-ой погрешности ε, с кот. мы будем воспроизводить наши рез-ты моделирования. Как найти Ci? Вычисление этих коэф-ов путем решения системы след вида:

C ₁²+C₂²+…Cm²=Kx(0)

C

(3)

₁C₂+C₂C₃+…C_m-1,m=Kx(t)

C₁C_m-1=Kx[(m-1)t]

напоминает вычисление корел. ф-и.

Система (3) может быть получена путем соответствующих преобр-й системы (1) и применения операции мат. ожидания след. вида:

M[νi · νj]=

Решение системы (3) в наст. время не составляет труда.