21 Гипербола

Это множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная.

x²/a²-y²/b²=1; √(x+c)²+y^2-√(x-c)²+y²=±2ab²=c²-a²;

21.1 Пересечение с осями координат Ox: A₁(a;0);A₂(-a;0); c Oy не пересекается.

21.2 A₁A₂=2a –действительная ось; OA₁=OA₂=a- действительная полуось.

21.3 B₁B₂=2b – мнимая ось; b-мнимая полуось

21.4 Асимптоты y=(b/a)x и y=-(b/a)x

21.5 Эксцентриситет ε=c/a

21.6 Директрисы x=±(a/ε)

22 Парабола

Это множество всех точек, каждая из которых одинаково удаленна от данной точки(фокуса), и данной прямой(директрисы). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром(p>0). y²=2px ε=1

23 Винтовая кривая

x=Rcost

y=Rsint

z=h/(2ПИ)*t

24 Конхойда Никомеда

Кривая, которая получается при увеличении,уменьшении длины радиусвектора каждой точки прямой на одну и туже величину.|OB|=a/cosφ; b=√x²+y²; cosφ=x/√x²+y²; MM’=a/cosφ±b; (x=a); x√x²+y²=a√x²+y²±bx; (x-a)√x²+y²=±bx; (x-a)²(x²+y²)=b²x².

25 Старфойда

Точка М лежит на старфойде если она лежит на луче выходящем из точки А(-а,0) и |PM|=|PO|; -ПИ/2<t<ПИ/2;

тМ x=-asint

y=atgt(1-sint) y²(a-x)=x²(a+x)

26 Цилиндр

Это поверхность, образованная движением прямой L(образующая), которя перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и песекая каждый раз некоторую кривую К(направляющая).

26.1 Эллиптический

x²/a²+y²/b²=1

26.2 Параболический

x²=2pz

26.3 Гиперболический

x²/a²-y²/b²=1

27Эллипсоид

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 линия в сечении: x²/a²+y²/b²=1-h²/c²

z=h

полуоси: a=a√1-h²/c²

b=b√1-h²/c²

a) h=±c C₁(0,0,c);C₂(0,0,-c)

б) |h|>c O

в) |h|<c

x²/(a√1-h²/c²)²+y²/(b√1-h²/c²)²=1

z=h

28 Однополостный гиперболойд

x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

при пересечении плоскостью z=h:

x²/(a√1+h²/c²)²+y²/(b√1+h²/c²)²=1

z=h

эллипс↑ a,b- действ полуоси, с- мнимая полуось

1) z=0 x²/a²+y²/b²=1 Элипс

2) y=0 x²/a²-z²/c²=1

3) x=0 y²/b²-z²/c²=1

29 Двуполостный гиперболойд

x²/a²+y²/b²-z²/c²=-1 Если пересеч плоскостью z=h :

x²/a²+y²/b²=h²/c²-1

z=h

a,b- действ полуоси, с- мнимая полуось

1) y=0 x²/a²-z²/c²=-1 Гипербола с действ осью Oz; мн ось Ox;

2) x=0 y2/b2-z2/c2=-1 Гипербола с действ осью Oz; мн ось Oy

3) ||xOy z=h x²/a²+y²/b²=h²/c²-1; h=±c; C₁(0,0,c), C₂(0,0,-c)-верш

30 Конус

x²/a²+y²/b²-z²/c²=0

1) y=0 x²/a²-z²/c²=0 z=±(c/a)x две прямые

2) x=0 y²/c²-z²/c²=0 z=±(c/b)y две прямые

3) пл||xOy z=h; x²/a²+y²/b²=h²/c²

h≠0 x²/(a|h|/c)²+y²/(b|h|/c)²=1 эллипс

31 Гиперболический параболойд

x²/p-y²/q=2z

1) x=0 –y²=2qz парабола

2) y=0 x²=2pz парабола

3) ||xOy, z=h x²/p-y²/q=2h

3.1) h=0;xOy x²/p-y²/q=0 ; y=±√a/p*x

3.2)h>0 x²/2ph-y²/2qh=0 Парабола с действ осью || Ox

3.3) h<0 x²/2ph-y²/2qh=1 Гипербола с действ осью || Oy

32 Бинарная алгебраическая операция

Пусть множ А-произвольное, А≠ О, отображение φ:А²А, А²=А*А, а₁φа₂a₃; примеры: 1)N +,* 2)Z +,*,-; (A,φ) множ операций заданных на этом множ наз. Алгебраической структурой. Свойства: 1) (А,*)- коммутативная операция, если a*b=b*a (*-не умножение, это знак операции )

2)* ассоциативная если a*(b*c)=(a*b)*c

33 Нейтральный элемент

Эл является нейтральным относительно * если a*e=e*a=a, если е существует то он единственный.Док-во: от обратного е₁*е₂=е₁=е₂, е₁=е₂.

34 Симметричный элемент

Если a*b=b*a=e, то b наз. Симметричным для а.

(А,*) с нейтр Эл е и * -ассоциативная опер, то если для а сущ b то он единственный.Док-во: b₁,b₂; b₁*a*b₂=(b₁*a)*b₂=b₂; b₁*a*b₂=b₁*(a*b₂)=b₁; b₁=b₂.

35 Дистрибутивная операция

Рассмотрим (А,*,∆); *- дистрибутивная относительно ∆, если для любых a,b,c из А, a*(b∆c)=(a*b)∆(a*c)(лев дистрибутив) (b∆c)*a=(b*a)∆(c*a)(правый дистрибутив); если и правый и левый то просто дистрибутив.Пр: a(b+c)=ab+ac.

36 Полугруппа

(А,*)-полугруппа. *- бинарная ассоциативная опер. Если * -коммутативная опер,то полугр наз коммутативной.

36 Манойд

Это полугруппа с нейтральным Эл. Пр: (Z,+)

37 Группа

Это множ с одной бинарной опер:1) a*(b*c)=(a*b)*c 2) сущ нейтрал Эл a*e=e*a=a 3)для любого а сущ а’: a*a’=a’*a=e;

Гр наз коммутативной или Абелевой, если * коммутативна. Если кол-во Эл в группе конечно, то группа называется конечной а кол-во Эл называется её порядком.

Свойства: 1) сущ единственный е. 2)для любого а сущ ед симметричный а’.3) разрешимы Ур-я: a*x=b; y*a=b; x=a’*b; y=b*a’; a’*a=a*a’=e.

38 Подгруппа

Пусть (G,*) –группа H G; (H,*)- группа, подгруппа множG

1) любые a,b принадл H 2) e принад H 3) для люб а из Н сущ а’ из Н. Пр: ({e},*),(G,*)

39 Циклические группы

Это мультипликативная гр с образующим Эл <a>={aⁿ|n прин Z}. Пр: (Z,+)=<1><-1>

40 Изоморфные группы

Две гр (G,*) и (G’,∆) наз изоморфными, если сущ такое отображение f: GG’ такое что:

1) f –биекция 2) f(a*b)=f(a)∆f(b) 3) обозн (G,*)(знак равно, над ним волна)(G’,∆) Свойства: при изоморфном отображ нейтральный Эл переходит в нейтральный 2) При изо отобр симметричный Эл переходит в симметричный a*a’=a’*a=e 3) обратное отображ к изом также является изоморфным.

41 Кольцо

Это алгебраическая структура с двумя бинарными операциями +,* удв усл: 1) (К,+)- Абелева гр 2) (К,*) –полугруппа. 3) a(b+c)=ba+ca; (b+c)a=ba+ca

Если * -коммутативна, то кольцо коммутативно. Если 1 принадл К то кольцо наз кольцом с 1. Аксиомы кольца:

1)a+b=b+a 2) (a+b)+c=a+(b+c) 3)сущ 0 из К: a+0=a

4)для любого а из К сущ –а из К: а+(-а)=0

5) a(bc)=(ab)c 6) a(b+c)=ab+ac; (b+c)a=ba+ca

Свойства: 1) сущ единственный 0.

2)для а сущ ед (-а) : а+(-а)=0

3)можно определить операцию вычетания a-b=a+(-b)

4) можно определить целочисленное кратное Эл-в

Пр: (Z,+,*),(Q,+,*),(R,+,*),(C,+,*) коммутативные с 1.