- •Содержание комплекса.
- •Примерный тематический план дисциплины “Численные методы”.
- •Содержание дисциплины “Численные методы”.
- •Тема 1. Численные методы решения нелинейных уравнений.
- •Тема 2. Аппроксимация функций. Интерполяция функций.
- •Тема 3. Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Численные методы решения дифференциальных уравнений.
- •Справочная литература.
- •Часть вторая. Конспект лекций по дисциплине “Численные методы”.
- •Лекция №1. Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.
- •Лекция № 2. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным.
- •Лекция № 3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
- •Лекция № 4. Интерполирование функций. Формула Лагранжа.
- •Лекция № 5. Интерполирование функций кубическими сплинами.
- •Лекция № 6. Численное дифференцирование.
- •Лекция № 7. Численное интегрирование.
- •Лекция № 8. Численные методы безусловной оптимизации.
- •Понятие о численном решении задачи Коши.
- •Часть третья. Вопросы к зачёту по дисциплине “Численные методы”.
- •Часть четвёртая. Примеры практических заданий к зачёту по дисциплине “Численные методы”.
- •Часть пятая. Варианты практических заданий зачёту по численным методам.
- •Варианты заданий для практической работы.
- •Задача № 2.
- •Задача № 3.
- •Задача № 4.
- •Задача № 5.
- •Задача № 6.
- •Задача № 7.
- •Задача № 8.
- •Задача № 9.
- •Задача № 10
- •Список используемой литературы:
Задача № 2.
Задание: По заданной таблице узлов интерполяции построить полином Лагранжа. Пусть заданы узлы интерполяции (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Для этих узлов полином Лагранжа имеет вид:
Вычислить с помощью построенного полинома значения функции в точках, расположенных между узлами интерполяции. Для этого значения х01 и х02 подставляются вместо x в построенный полином. В указанных точках (х01 и х02) рассчитать погрешность вычисления значений функции F(x) с помощью аналитического выражения функции и полинома Лагранжа по формуле: i = = |F(x0i) - Ln(x0i)| i=1,2 где Ln(x0i) - значение полинома Лагранжа.
Использовать интерполяционную таблицу задачи № 1.
Задача № 3.
По заданной таблице узлов интерполяции построить аналитическое выражение сплайна или Эрмитова кубического интерполянта для каждого отрезка, образованного двумя соседними узлами интерполяции: [xi, xi+1]. Коэффициенты интерполянта для каждого отрезка определить методом Крамера. Для этого необходимо использовать функцию Ms Excel МОПРЕД для вычисления определителей каждой системы или вычислить определители вручную, разложив главный определитель на миноры 3 – го порядка, или вычислить определители с помощью программы MathCAD, найденные определители позволят вычислить коэффициенты сплайнов или Эрмитовых интерполянтов методом Крамера. Указание: имеется ввиду, что общий вид кубического сплайна или Эрмитова кубического интерполянта следующий . Необходимо определить коэффициенты аi i=0-3 из системы линейных уравнений.
Вариант 1. F(x) = ln x2
xi |
-11,2 |
-0,5 |
18,3 |
43,7 |
69,2 |
110,8 |
F(xi) |
4,83 |
-1,39 |
5,81 |
7,55 |
8,47 |
9,41 |
F(xi) |
-0,179 |
-4,00 |
0,109 |
0,265 |
0,029 |
0,018 |
Вариант 2. F(x) = 5е18х
xi |
-0,2 |
0,03 |
0,1 |
0,22 |
0,32 |
F(xi) |
0,03 |
1,72 |
6,05 |
52,46 |
317,35 |
F(xi) |
0,54 |
30,96 |
108,90 |
944,28 |
5712,30 |
Вариант 3. F(x) = х3 + 7x2 + 5х
xi |
-5,2 |
-2,5 |
0,8 |
2,4 |
4,1 |
F(xi) |
22,67 |
15,63 |
8,99 |
66,14 |
207,09 |
F(xi) |
-17,20 |
-1,00 |
18,80 |
28,40 |
38,60 |
Вариант 4.
xi |
-0,95 |
-0,5 |
-0,2 |
0,6 |
1,02 |
F(xi) |
284,29 |
15,64 |
2,83 |
0,07 |
0,02 |
F(xi) |
-1961,60 |
-93,84 |
-15,28 |
-0,27 |
-0,06 |
Вариант 5. F(x) = ex
xi |
1,01 |
1,04 |
1,11 |
1,16 |
1,20 |
F(xi) |
2,75 |
2,83 |
3,03 |
3,19 |
3,32 |
F(xi) |
2,75 |
2,83 |
3,03 |
3,19 |
3,32 |
Вариант 6. F(x) = cos x
xi |
1,01 |
1,04 |
1,07 |
1,13 |
1,18 |
F(xi) |
0,53 |
0,51 |
0,48 |
0,43 |
0,38 |
F(xi) |
-0,53 |
-0,51 |
-0,48 |
-0,43 |
-0,38 |
Вариант 7. F(x) = ln x
xi |
1,01 |
1,06 |
1,10 |
1,14 |
1,19 |
F(xi) |
0,01 |
0,06 |
0,09 |
0,13 |
0,17 |
F(xi) |
0,99 |
0,94 |
0,91 |
0,88 |
0,84 |
Вариант 8. F(x) = e-x
xi |
1,01 |
1,05 |
1,10 |
1,14 |
1,20 |
F(xi) |
0,36 |
0,35 |
0,33 |
0,32 |
0,30 |
F(xi) |
-0,36 |
-0,35 |
-0,33 |
-0,32 |
-0,30 |
Вариант 9. F(x) = sin x
xi |
1,00 |
1,04 |
1,08 |
1,10 |
1,17 |
F(xi) |
0,84 |
0,86 |
0,88 |
0,89 |
0,92 |
F(xi) |
-0,84 |
-0,86 |
-0,88 |
-0,89 |
-0,92 |
Вариант 10. F(x) = х3 + 7x2 + 5х
xi |
-5,2 |
-2,5 |
0,8 |
2,4 |
4,1 |
F(xi) |
22,67 |
15,63 |
8,99 |
66,14 |
207,09 |
F(xi) |
-17,20 |
-1,00 |
18,80 |
28,40 |
38,60 |