- •Ответы на экзамен по курсу тВиМс.
- •1. Теория вероятностей
- •Биномиальный закон распределения
- •Центральная предельная теорема
- •2. Статистическое оценивание
- •3. Статистическая проверка гипотез
- •Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной средней
- •1. Критерий Бартлетта
- •2. Критерий Кохрена
- •Критерий Пирсона
Биномиальный закон распределения
Биноминальное распределение представляет собой распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью P(A) = p = const. Кроме события A может произойти также противоположное событие , вероятность которого P( ) = 1-p = q.
Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:
где - вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит n раз;
- вероятность того, что при n испытаниях событие A не наступит ни разу;
- вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз, а событие наступит n-m раз;
- число сочетаний (комбинаций) появления события A и .
Таким образом, вероятность осуществления события A m раз при n независимых испытаниях с одинаковой вероятностью p можно рассчитать по формуле общего члена разложения бинома Ньютона:
.
Эта формула называется формулой Бернулли. Ее целесообразно использовать при небольшом числе испытаний, порядка n 8.
Сумма вероятностей всех комбинаций равна единице,
как сумма вероятностей единственно возможных и несовместных событий (комбинаций), составляющих полную группу событий.
Ряд распределения вероятностей случайной величины X = m записывают следующим образом:
,
где n - число независимых испытаний;
m=0n - частота появления события A в n независимых испытаниях.
Числовые характеристики биноминального распределения:
M(m)=np - математическое ожидание частоты появлений события A при n независимых испытаниях;
D(m)=npq - дисперсия частоты появления события A;
- среднее квадратическое отклонение частоты.
Когда число испытаний n велико, то для вычисления вероятности комбинаций используется локальная теорема Лапласа:
где - нормированная плотность нормального распределения;
- нормированное значение частоты.
1.8
Нормальное распределение - наиболее часто встречающийся вид распределения. С ним приходится сталкиваться при анализе погрешностей измерений, контроле технологических процессов и режимов, а также при анализе и прогнозировании различных явлений в в экономике, социологии, демографии и других областях знаний.Нормальным называется распределение, функция плотности вероятности которого имеет вид
,
где - математическое ожидание случайной величины;
2 - дисперсия случайной величины, характеристика рассеяния значений случайной величины около математического ожидания.
1.9
Правило 3-х _ (трех “сигм”).Пусть имеется нормально распределённая случайная величина с
математическим ожиданием, равным а и дисперсией 2. Определим вероятность попадания в интервал (а – 3_; а + 3_), то есть вероятность того, что принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.
P(а – 3_< _ < а + 3_)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)
По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практически равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3. (Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”.)
1.10
Схема испытаний Бернулли.
n испытаний называются системой испытаний Бернулли, если испытания независимы, в каждом из них происходит событие , либо с вероятностью наступления P(A) = p;
Найдем вероятность того, что в результате проведенных n испытаний событие А произошло m раз:
Рассмотрим композицию n независимых испытаний и построим композиционное пространство элементарных событий.
Общий вид элемента этого пространства следующий:
где |
|
При этом вероятность наступления такого события равна: (умножение при независимых событиях)
Найдем вероятность наступления любого элементарного события из композиционного пространства:
Рассмотрим в композиционном вероятностном пространстве событие: в n испытаниях событие A произошло m раз.
Событие A состоит из - общее кол-во элементарных событий, в которое входит событие А. А произошло m раз, - n-m раз. Вероятность каждого из этих элементарных событий одинакова и равна:
Следовательно, на основании III аксиомы теории вероятности результат равняется: (сложение вероятностей)
Локальная и интегральная теорема Лапласа
Пусть производится n одинаковых независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной p. Тогда вероятность частоты m наступления события А определяется, как было показано ранее по формуле Бернулли:
Вычисление по этой формуле трудно практически осуществить при n>20.Муавром и Лапласом была получена асимптотическая формула, позволяющая найти указанную вероятность. Теорема, выражающая эту формулу, носит название локальной теоремы Муавра-Лапласа .Если производится n одинаковых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна p, то вероятность того, что данное событие появится m раз, определяется по формуле
Эта теорема дает приближение биномиального закона распределения к нормальному при n и p, значительно отличающемся от нуля и единицы. Для практических расчетов удобнее представлять полученную формулу в виде
,
;
.
Если m=m0=np, то вероятность наиболее вероятной частоты находится по формуле
При рассмотрении количества m появлений события A в n испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что m заключено между некоторыми значениями a и b. При достаточно больших n промежуток [a,b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения:
требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей. Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.
Формулу, выражающую интегральную терему Лапласа, можно получить из закона нормального распределения (см. далее), положив
X = m; x1=m1; x2=m2; = np; При больших значениях n наиболее вероятная частота m0 совпадает с математическим ожиданием (см. далее) частоты. Поэтому для нахождения вероятности того, что абсолютная величина отклонения частоты от наиболее вероятной частоты не превосходит заданного числа > 0, применим формулу закона нормального распределения
P(X-<t) = Ф(t),
где X = m; = M(m) = m0; ; t = .
Заметим, что, пользуясь теоремами Лапласа, можно находить вероятность того, что частость примет заданное значение.
1.11
Лемма Маркова
Пусть Х - случайная величина, принимающая лишь неотрицательные значения. Тогда можно получить следующее неравенство:
(>0 любое)
Неравенство Чебышева.
Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по обсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем , то есть
Теорема Чебышева. Если Х1, Х2, … Хn попарно независемые случайные величины, причем дисперсии их не привышают постоянноо числа с, то как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства
будет как угодно близка к единице, если число n случайных величин достаточно велико.
Используя понятие предела, можно в условиях теоремы записать:
.
Вместо последней записи часто кратко говорят, что суммы сходятся по вероятности к нулю.
Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р. Тогда каково бы ни было >0,
,
где - частость появления события А.
Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний появление события А в К-ом испытании равна рк, то
,
где m есть случайная величина, равная числу появлений событя А в первых n испытаниях.
Теорема Лапласа.
Теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона устанавливают нижнюю границу вероятности, что часто бывает недостаточно. В некоторых случаях важно знать достаточно точное значение вероятности. Этому требованию отвечают так называемые предельные теоремы закона больших чисел, указывающие асимптотические формулы для
вероятностей неравенства относительно n случайных величин Xi.
Мы уже знаем, что вероятность неравенства вычисляется по интегральной теорема Лапласа, а именно
где .
Следовательно, достаточно точным выражением теоремы Бернулли является интегральная теорема Лапласа. Асимптотическую формулу для теоремы Чебышева доказал его ученик А.М. Ляпунов. Приведем теорему Ляпунова без доказательства.