65) Приближенное решение ду
Пусть
необходимо найти решение у(х) задачи
Коши для дифференциального уравнения
2-го порядка:
Ищем у(х) в виде ряда Тейлора:
(1)
Значения
известны,
поэтому определяется
сразу
Для
нахождения следующих коэффициентов
ряда (1) необходимо брать последовательно
производные от
и
подставлять в них известные уже значения
предыдущих производных.
Пример: Найти первые три члена разложения в с.р. решения задачи Коши
у(х)
ищем в виде
Имеем:
Таким
образом,
Изложенный
метод применим для приближенного
решения уравнений любого порядка
66) Дискретное вероятностное пространство
Если
множество элементарных исходов
конечно
или счетно:
,
то соответствующее вероятностное
пространство называется дискретным.
В случае дискретных вероятностных
пространств событиями обычно считают
все возможные подмножества
.
В этом случае для задания вероятности
необходимо и достаточно приписать
каждому элементарному исходу
число
так,
чтобы их сумма была равна 1. Тогда
вероятность любого события
задается
следующим образом:
67) Классическое вероятностное пространство
Вероятностное
пространство
— это тройка
,
где
—
это произвольное
множество, элементы которого называются
элементарными событиями, исходами или
точками;
—
сигма-алгебра
подмножеств
,
называемых (случайными) событиями;
—
вероятностная
мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная
конечная мера,
такая что
Классический способ задания вероятностей — такой способ задания вероятностей, когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:
.
68) Теоремы сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Определение. Несовместными называются два противоположных события, образующие полную группу.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема Умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.