Вопрос 2

Биссектриса угла. Свойства биссектрисы треугольника.

Биссектриса угла – это луч, который исходитиз вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол напополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Билет №12 1. Прямоугольник (определение). Свойства прямоугольника (не менее двух). Признаки прямоугольника.

2. Нахождение катета и острых углов прямоугольного треугольника по данным гипотенузе и другому катету.

Вопрос 1

Прямоугольник. Свойства и признаки прямоугольника.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90.

Свойства:

1)Диагонали прямоугольника равны (теорема 6.4). Доказательство: Пусть АВСD – данный прямоугольник. Из равенства прямоугольных треугольников ВАD и СDА следует, что их гипотенузы равны, а гипотенузы есть диагонали прямоугольника.

Признаки:

1)Если у параллелограмма все стороны равны, то он является прямоугольником. Доказательство: Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, являются внутренними односторонними, значит, их сумма равна 180. Так как по условию задачи все углы равны, то каждый из них прямой, а параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник.

Вопрос 2

Для начала надо найти второй катет с помощью теоремы Пифагора (а²+b²=с²). Далее, основываясь на определении синусов, мы находим два острых угла:

Далее, по теореме о сумме углов треугольника, мы находим последний угол:

Билет №13 1. Ромб (определение). Свойства ромба. Признаки ромба. 2. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой.

Вопрос 1

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов (теорема 6.5). Доказательство: пусть АВСD – данный ромб, О – точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма АО=ОСТ.к АВСD – ромб, то АВ=ВС и АВС равнобедренный. По свойству медианы равнобедренного треугольника, она также и является его высотой и биссектрисой. Теорема доказана.

Вопрос 2

Построение перпендикулярной прямой

А)Точка О лежит на прямой а.

Б)Точка О не лежит на прямой а.

А)Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает а в точках А и В. Из точек А и В проводим окружности АВ. Тоску их пересечением обозначаем за С. Искомаяпрямая проходит через ОС.

Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

Б)Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает а в точках А и В. Из точек А и В проводим окружности АВ. Тоску их пересечением обозначаем за С. Искомаяпрямая проходит через ОС.

Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершинке О треугольников АСО и ВСО.Обозначим через точку С точку пересечения прямых АВ и ОО₁. Треугольники АОВ и АО₁И равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу О₁АС. А тогда треугольникиОАС и О₁АС равны по первому признаку, значит их углы равны. А т.к. они смежные, то они и перпендикулярные, значит ОС – перпендикуляр.

Билет №14 1. Угол (определение). Вид углов. Теоремы Фалеса. 2. Вписанный четырехугольник. Вопрос 1

Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами.

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны.

Центральные и вписанные углы окружности.

В зависимости от величины углы разделяются на:

Невыпуклый угол

Прямой угол

Угол между двумя кривыми в точке Р определяется как угол между касательными А и В в P

• Острые (от 0 до 90°)

• Прямые (90°)

• Тупые (от 90° до 180°)

• Косые (не равные 90° или 180°)

• Развёрнутые (180°)

• Невыпуклые (от 180° до 360°)

• Полные (360°)

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство: Пусть А₁, А₂, А₃ – точки пересечения параллельных прямых с одной сторон0й угла и А₂ лежит между А₁ и А₃. Пусть В₁, В₂, В₃ – соответствующие точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А₁А₂=А₂А₃, то В₁В₂=В₂В₃.

Проведём через В₂ прямую EF, параллельную прямой А₁А₃. Треугольники В₂В₁F и В₂В₃Е равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует и равенство сторон, следовательно, В₁В₂=В₂В₃. Теорема доказана.