Федеральное агентство по образованию
_________
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Курс лекций по Теории Вероятностей
Санкт-Петербург
СПбГПУ
2009
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Название параграфа |
Стр. |
Лекция 1 Предмет Теории Вероятностей Случайные события. Основные понятия Основные операции над множествами Вероятность и варианты определения Лекция 2 Основные соединения в комбинаторике Условная вероятность Теорема умножения вероятности Лекция 3 Теорема умножения вероятностей для n любых событий Независимость событий Независимые в совокупности события Необходимое и достаточное условие взаимной независимости n событий Вероятность наступления хотя бы одного из независимых в совокупности событий Лекция 4 Формула полной вероятности Сложные испытания. Испытания по схеме Бернулли Лекция 5 Асимптотическая формула Пуассона Асимптотическая формула Муавра-Лапласа Функция Лапласа и ее основные свойства. Интеграл Лапласа
Лекция 6 Случайные величины. Основные понятия и определения Интегральная функция распределения случайной величины Лекция 7 Законы распределения Числовые характеристики случайных величин Лекция 8 Начальный и центральный моменты Связь между начальным и центральным моментами Дисперсия и ее свойства Среднее квадратическое отклонение Характеристики формы кривой распределения Лекция 9 Производящая функция Биномиальное распределение для ДСВ Закон распределения Пуассона Закон геометрического распределения Лекция 10 Нормальный закон распределения (Закон Гаусса) Вероятность попадания нормального распределения случайной величины в интервал Лекция 11 Закон равномерной плотности Показательное (экспоненциальное) распределение Лекция 12 Закон больших чисел Сходимость по вероятности Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева Сущность Теоремы Чебышева Значение Теоремы Чебышёва для практики Теорема Бернулли Лекция 13 Понятие о центральной предельной теореме (ЦПТ) |
5 5 5 6 9 14 18 19 19 21 21 23 24
25
26 27 27 30 34 34 35 37
40 40 42 46 46 49 55 55 56 56 59 59 62 62 63 64 66 67 67
70 72 72 75 78 78 79 80 82 82 83 85 85 |
Лекция 1
Элементарная Теория Вероятностей
§ Предмет Теории Вероятностей
В изучении окружающей среды используются 2 метода: детерминированный способ описания, характеризующий явление в природе, обществе и вероятностный (стохастический или статистический).
Д
О
етерминированная математическая модель даёт вывод при задании всех переменных.Вероятностная модель не даёт достоверного прогноза изучаемого явления. Выводы носят оценочный характер.
Т
О
еория Вероятностей – математическая дисциплина, изучающая математические модели случайных явлений, носящих массовый характер.
§ Случайные события. Основные понятия
Пусть проводится некоторый опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), исход которого заранее определить нельзя.
С
О
лучайное событие (исход) – любой исход опыта, который может произойти или не произойти.Обозначение событий: А, В, С…X, Y, Z.
Элементарный исход – любой простейший (неделимый в условиях данного опыта) исход опыта. Элементарные исходы должны удовлетворять условиям:
В результате опыта обязательно должен произойти какой-то исход.
Появление одного из элементарных исходов исключает появление других исходов.
В рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.
О
Пространство элементарных событий – множество всех элементарных событий, связанных с данным опытом. Обозначение: Ω (омега)
Ω отождествляется с достоверным событием, ωi Ω , где ωi - элементарный исход.
В дальнейшем события будем рассматривать, как некоторые множества, составленные из более простых событий.
§ Основные операции над множествами
М
О
ножество – любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых – элемент множества.Обозначение: множества – А, В, С
элементы множеств – а, b, c , где а А, b B, c C.
Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента: Ø
Оно соответствует невозможному событию.
Действия над множествами будем рассматривать на диаграммах Эйлера-Венна.
Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы множества В содержатся в элементах множества А: В А.
- т.е. появление события В влечет за собой появление события А.
Пересечением или произведением множества А и В называется множество D, состоящее из элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В:
Множества А и В называются непересекающимися (несовместными), если их пересечение равно пустому множеству:
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, входящих в одно из множеств А или В:
- Совместные события
Разность множеств А и В – множество F, состоящее из элементов, входящих в множество А и не входящих в множество В.
Противоположным событию А называется событие Ā, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А:
, Ā - дополнение множества А.
События А1, А2, А3,…Аn образуют полную группу событий, если выполняются 2 условия:
1. их попарные пересечения есть пустое множество: при любом i ≠j
2. их сумма образует достоверное событие:
§ Вероятность и варианты определения
Замечания:
Появление события А обладает какой-то степенью возможности, которую можно измерить численно. Это число - и есть вероятность события.
Вероятность достоверного события (которое в результате опыта происходит обязательно) равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Все события возможные, но недостоверные будут иметь вероятность в пределах от нуля до единицы.