- •1. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема об общем виде
- •2. Основные свойства неопределенных интегралов.
- •3. Метод интегрирования разложением и подстановкой. Теорема о замене
- •4. Метод интегрирования по частям. Теорема.
- •5. Интегрирование простейших дробей.
- •6. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных выражений.
- •8. Интегрирование тригонометрических функций.
- •17.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теорема о сходимости таких интегралов.
- •18. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •19. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
- •20. Числовые ряды. Частичные суммы. Сходимость ряда. Теорема об общем члене сходящегося ряда.
- •21. Основные свойства рядов. Остаток ряда. Теорема об остатке ряда.
- •22. Положительные ряды. Признаки сходимости (теоремы сравнения)
- •23. Признак Даламбера.
- •24. Радикальный признак Коши.
- •25. Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •26. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной сходимости. Теорема Коши об абсолютной сходимости.
- •27. Условная сходимость рядов. Теорема Лейбница.
- •28. Функциональные ряды. Область сходимости.
- •29. Степенные ряды. Теорема Абеля.
- •30. Ряды Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •35. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа).
- •36. Уравнение Бернулли.
- •37. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
- •38. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Два типа уравнений, метод решений которых понижение порядка.
- •39. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.
- •40. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •41. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •46. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •47. Дифференцирование сложных функций многих переменных.
- •48. Инвариантность формулы первого дифференциала.
- •49. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •50. Полные дифференциалы высших порядков.
- •51. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •52. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема об общем виде
первообразной.
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a; b), если для любого x∈(a; b) выполняется равенство F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x) dx.
Неопределенный интеграл – множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) и обозначается символом ∫f(x) dx. По определению ∫f(x) dx=F(x)+C, где f(x)-подынтегральная функция, f(x) dx-подынтегральное выражение, x-переменная интегрирования.
Теорема: Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x)+C, где C-постоянное число.
Док-во: Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)’=F’(x)=f(x). Пусть Ф(х) – отличная от F(x), первообразная функции f(x), т.е. Ф’(x)=f(x). Тогда для любого x∈(a; b) имеем (Ф(х)-F(x))’=Ф’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C. Следовательно Ф(х)=F(x)+C.
2. Основные свойства неопределенных интегралов.
1 св-во-Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: d (∫f(x) dx)=f(x) dx, (∫f(x) dx)’=f(x)
2 св-во-Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: ∫dF(x)=F(x)+C
3 св-во-Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
4 св-во-Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций
5 св-во-Инвариантность формулы интегрирования: Если ∫f(x) dx=F(x)+C, то и ∫ f(u) du=F(u)+C, где u-произвольная функция, имеющая непрерывную производную
3. Метод интегрирования разложением и подстановкой. Теорема о замене
переменной в неопределенном интеграле.
Теорема: Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а функция φ(t) – на множестве Φ, причем φ(t) ∈ Х. Тогда, если функция f(x) имеет первообразную F(x) на Х, а φ(t) дифференцируема на Φ, то ∫f(x) dx=∫f(φ(t))*φ’(t) dt
Док-во:
поэтому функция F(φ(t)) является первообразной функции f(φ(t)) φ’(t). Следовательно,
∫ dt =F +C. С другой стороны, при x = φ(t) ∫f(x) dx=F )+C. В полученных формулах равны правые части, следовательно, равны и левые.
4. Метод интегрирования по частям. Теорема.
Теорема: ∫u dv=uv-∫v du
Док-во: Пусть u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u*dv+v*du. Интегрируя это равенство мы получим ∫d(uv)= ∫u dv+∫v du или исходную формулу.
5. Интегрирование простейших дробей.
Это дроби типа , ,
6. Интегрирование дробно-рациональных функций.
Это функция, равная отношению двух многочленов, т.е. f(x)=P(x)/Q(x). Если дробь неправильная (степень многочлена в числителе больше), то выполняется деление числителя на знаменатель (представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби). Далее разложить знаменатель правильной дроби на множители представить ее в виде суммы простейших дробей. И проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.