15. Интегрируемость суммы и произведения интегрируемых функций.

Любая функция, ограниченная и непрерывная в некотором промежутке, является интегрируемой на этом промежутке. К классу интегрируемых функций относятся также функции, ограниченные на промежутке интегрирования и имеющие на этом промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция c f(x), где c – константа, интегрируема на этом промежутке.

Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция | f(x) | интегрируема на этом промежутке.

Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на промежутке [a,b], то и их сумма, разность и произведение интегрируемы на этом промежутке.

Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка

Если функция f(x) интегрируема в каждой части некоторого промежутка, то она интегрируема и на всем промежутке.

Если значения интегрируемой функции изменить в конечном числе точек на конечные величины, то интегрируемость функции не нарушится.

Применительно к функции f(x) , которая не определена в конечном числе точек промежутка [a,b], это означает, что ни существование интеграла , ни его величина не зависят от значений, приписанных функции f(x) в точках ее разрыва.

16. Оценки интегралов.

Оценки интегралов

1. Если то

2.

3. Если то

17. Оценка определенного интеграла по абсолютной величине.

18. Формулы среднего значения.

19. Существование первообразной. Формула Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница

Эта формула имеет вид

Здесь - непрерывная на отрезке функция, а - какая-либо ее первообразная на этом отрезке.

20. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправдано.

21. Понятие площади плоского множества. Площадь криволинейной трапеции.

22. Площадь криволинейного сектора.

Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением r = r(θ), α ≤ θ ≤ β (см. Рис. 3), причем функция r(θ) непрерывна и неотрицательна на сегменте [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором.

23. Длина дуги кривой.

Теорема. Если у функции f(x) существует непрерывная производная f'(x), то кривая y = f(x) спрямляема, и ее длина равна

24. Площадь поверхности вращения.

]