- •6.1. Общая теория и примеры. 67 § 1. Матрицы. Основные понятия и действия с ними.
- •1.1. Основные понятия. Вычисление определителя.
- •1.2. Действия с матрицами.
- •1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •1.4. Примеры для самопроверки. § 2. Метод Гаусса. Лемма Ахо.
- •2.1. Общая теория и примеры.
- •2.2. Лемма Ахо.
- •2.3. Если есть компьютер.
- •§ 3. Экономические задачи, содержащие матрицы и системы.
- •§ 4. Задачи на вектора, прямые и плоскости.
- •4.1. Общая теория и алгоритмы.
- •§ 5. Экономические задачи, содержащие вектора и прямые
- •§ 6. Пределы и производные
- •6.1. Общая теория и примеры.
1.2. Действия с матрицами.
Два наиболее простых арифметических действия, выполняемых с матрицами – это сложение и вычитание. Для их реализации достаточно, чтобы все матрицы, участвующие в этих операциях, имели одинаковую размерность. Если это условие выполнено, сложение или вычитание выполняется поэлементно, при этом сохраняются все свойства ассоциативности и коммутативности, присущие данным операциям. Также поэлементно осуществляется и умножение матрицы на число.
Пример 10. Вычислить , если
,
Поскольку сложение выполняется поэлементно, то
Пример 11. Вычислить , если
, ,
Поскольку
, то
Гораздо более сложным арифметическим действием является умножение двух матриц. Во-первых, основным и обязательным условием является равенство числа столбцов первой матрицы числу строк второй матрицы. Во-вторых, умножение матриц в общем случае не ассоциативно и не коммутативно, т.е.
.
И, в-третьих, умножение осуществляется не поэлементно, а в соответствии со следующим правилом: если , то каждый ее элемент
.
Можно сказать, что элемент образуется путем скалярного произведения k-й строки первой матрицы на m-й столбец второй. Понятие скалярного произведения, известное из школьного курса, приведено в § 4.1.
Таким образом, результат умножения, например, двух матриц размера 3х3 можно записать так:
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 12. Вычислить , если
,
Применяя основную формулу, получаем:
Пример 13. Вычислить , если
,
Заметим, что основное требование - равенство числа столбцов первой матрицы числу строк второй матрицы – выполняется. Тогда
Пример 14. На основе матриц примера 13 убедиться в том, что .
Произведение уже найдено нами ранее. Вычислим произведение . Поскольку основное требование здесь также выполняется, то
Очевидно, что
Пример 15. Вычислить , если
,
Применяя основную формулу, получаем:
Пример 16. Вычислить , если
,
Поскольку основное требование выполнено, то
В данном примере стоит отметить, что умножение невозможно - основное требование не выполняется. Действительно,
,
т.е. на первом же шаге решение заходит в тупик.
Последнее арифметическое действие – деление, как таковое к матрицам не применяется. Здесь необходимо вспомнить следующий несложный факт:
на основании которого в теории матриц вместо выражения принято писать , где - матрица, обратная к матрице , т.е такая, что
где - единичная матрица (определение дано на стр. 3).
Для того, чтобы найти матрицу , обратную к данной матрице , необходимо выполнить следующий алгоритм:
Вычислить определитель матрицы ;
Транспонировать матрицу - записать матрицу , первым столбцом которой будет являться первая строка матрицы , вторым столбцом – вторая строка матрицы и т.д.
Записать матрицу, союзную к - т.е. матрицу , составленную из алгебраических дополнений (определение см. на стр. 4) ко всем элементам матрицы .
.
Очевидно, что основными условиями существования обратной матрицы будут следующие:
Исходная матрица должна быть квадратной;
Определитель исходной матрицы должен быть отличен от нуля.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 17. Вычислить матрицу, обратную к
Выполним по пунктам приведенный алгоритм.
1) Вычислим определитель матрицы:
2) Транспонируем исходную матрицу:
3) Вычислим союзную к ней:
4) Вычислим матрицу, обратную к :
Алгоритм, являющийся достойной альтернативой данному и основанный на методе Гаусса приведен в § 2.1 (пример 5). В § 2.3 «Если есть компьютер» дается описание нахождения обратной матрицы в среде MathCad.
Убедимся в том, что последний пример был решен верно и полученная матрица действительно является обратной к исходной. Для этого необходимо перемножить матрицы . Действительно,
.
Аналогично выполняется и проверка того, что . Таким образом, обратная матрица найдена верно.
Пример 18.3 Вычислить матрицу, обратную к
Выполним по пунктам приведенный алгоритм.
1) Вычислим определитель матрицы:
2) Транспонируем исходную матрицу:
3) Вычислим союзную к ней:
4) Вычислим матрицу, обратную к :