Основные методы решения определенных интегралов.

1. Непосредственное интегрирование.

Этот способ основан на использовании свойств определенного интеграла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тождественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница.

2. Интегрирование подстановкой.

Для решения определенного интеграла методом подстановки заменяют g(x)=t; dt=g'(x)dx и находят пределы изменения переменной t при изменении x от a до b из соотношений: g(a)=α и g(b)=β.

Тогда = , где F(t)-первообразная функции f(g(x))=f(t).

3. Интегрирование по частям.

При этом способе используют формулу: (**)

Подробные рекомендации по решению интегралов по частям даны в описании этого метода применительно к неопределенным интегралам.

Решение типовых задач

Задача 1. Вычислить

Решение. Данный интеграл решим непосредственным интегрированием. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

= .

Применим свойства 6 и 5, в результате чего получим

Так как оба интеграла табличные, записываем первообразные функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

= .

Задача 2. Вычислить .

Решение. Решаем интеграл методом подстановки. Введем новую переменную t=4-x и продифференцируем данное равенство: dt=d(4-x); dx=-dt. Найдем новые пределы интегрирования из соотношения t= 4-x: при x₁=0 получаем t₁=4, при x₂=2 получаем t₂=2.

Делаем замену переменной в заданном интеграле:

.

Избавимся от знака минус перед интегралом, воспользовавшись свойством 3:

Задача 3. Вычислить .

Решение. Будем решать интеграл методом интегрирования по частям. Обозначим lnx=u, dx=dv и найдем du=d(lnx)=dx/x и v=∫dx=x. Применяя к заданному интегралу формулу интегрирования по частям, получим

.

Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычисление длин дуг плоских кривых.

Если кривая Г является графиком функции y=f(x), a x b, то длина дуги кривой вычисляется по формуле: .

Если прямая задана параметрически уравнениями x= x(t), y= y(t) ( ), то длина дуги кривой равна .

Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя непрерывными на [a, b] функциями y=f(x) и y= (f(x) и прямыми x=а, x=b, вычисляется по формуле: .

Е сли x=x(t) и y= y(t) (0 ) - параметрические уравнения простой замкнутой кривой Г (Рис.), пробегаемой против часовой стрелки и ограничивающий слева от себя площадь S, то y Г

(вычисляется по одной их этих формул)

0 x

Рис.

Вычисление площадей поверхностей вращения.

Если функция у = f(x) непрерывно дифференцируема и неотрицательна на [a, b] функции f(x), то для площади S поверхности, полученной вращением кривой Г, является графиком вокруг оси O_X, справедлива формула S = 2 .

Объем V тела по известному поперечному сечению

S = S(x), V=

Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на [a, b], а q -множество, полученное вращением вокруг оси O_X криволинейной трапеции, порожденной графиком функции y=f(x). Такого типа множества называется телами вращения. Тогда для объема V этого тела имеет место формула:

Объем кольца, образованного вращением вокруг оси O_X плоской фигуры

{ } где и и непрерывны: