Глава 3.Криволинейные интегралы

§1. Криволинейные интегралы первого типа

Рассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую на плоскости ( – точки плоскости). Для простоты, считаем, что эта кривая задана параметрическими уравнениями , причем – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.

Тогда длина кривой выражается формулой

.

Под разбиением кривой будем понимать множество точек , лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от к . Пусть - длина кривой .

Диаметр определим как .

Пусть функция определена на кривой . Выберем на каждом участке кривой точку и образуем сумму , называемую интегральной.

Определение 3.1.1. Пусть . Если ,

то величина I называется криволинейным интегралом первого типа по кривой и обозначается так: .

Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от к ,

а от к , то в разбиении с выбранными точками изменилась бы только нумерация отрезков и точек , а сама интегральная сумма не изменилась бы, поскольку в ее определении фигурирует лишь длина участка, которая не зависит от того, в каком направлении проходится участок. Это означает, что .

В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который меняет знак при изменении пределов интегрирования ( ).

Сформулируем теорему, сводящую новый объект - криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу. Определим вспомогательное понятие непрерывности функции на кривой.

Будем говорить, что - непрерывная на кривой функция , если ( точки кривой такие, что расстояние между меньше ) выполняется неравенство .

Теорема 3.1. Пусть - непрерывная на кривой функция и пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывные на функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда

.

►Схема доказательства. Интегральная сумма

для криволинейного интеграла первого типа отличается от интегральной суммы

для интеграла

лишь тем, что величина

несколько отличается от величины

.

А именно , этот интеграл, по теореме о среднем, равен

, где .

Нетрудно доказать, что при пределы этих сумм равны (строгое доказательство опущено). Это означает, что утверждение теоремы справедливо.◄

Замечание. Иногда возникает сомнение: мы выразили криволинейный интеграл первого типа, который не меняет свой знак при изменении направления обхода кривой с помощью обычного интеграла, который должен менять знак при изменении пределов интегрирования? Отметим, что изменение направления обхода кривой означает одновременную смену пределов интегрирования и знака величины dt, что не изменяет величину интеграла в правой части этого равенства.

Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 основных:

1. при условии, что существуют и .

2. Если - кривые, удовлетворяющие условиям теоремы, то .

Эти свойства называются линейностью и аддитивностью интеграла.

Свойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа для кусочно-гладких кривых (т.е. кривых, состоящих из конечного числа частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можно определить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.