21. непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин: дисперсия непрерывной случайной величины и её свойства.

Непрерывной случайной величиной называют величину которая может принимать все значения из некоторого бесконечного промежутка. Очевидно число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Более точная формулировка: случайную величину называют непрерывной, если функция её распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Дисперсией непр. случ велич. назыв. математ ожидан. кввадрата её отклон..

если возм-ые знач Х прин отрзку [a,b] то если возможные значения принадл. всей оси x, то

22. Элементарные функции алгебры логики Обозначения: E₂={0,1}; Е = E₂E₂...E₂ – прямое произведение n сомножителей; (x ,..,x_n) E₂, | E₂| – мощность E₂, |E₂|=2, тогда |Е |=2ⁿ. Определение 1. Функцией алгебры логики называется закон, осуществляющий отображение Е E₂, причем отображение всюду определено и функционально. Так как множество Е конечно, то задать отображение Е  E₂, означает задать множество наборов из Е и для каждого набора указать его образ в Е ₂.

1. Конъюнкция эту операцию называют логическим умножением

2. сложение по модулю два

3. дизъюнкция – логическое сложение

4. отрицание дизъюнкции

5. 

6. 

7. 

Cимволы ,   участвующие в обозначениях элементарных функций, называются логическими связками или просто связками. Переменные 0 и 1 называются логическими или булевыми переменными, причем 0 соответствует «лжи» , а 1 – «истине», а функции алгебры логики называются еще и блевыми функциями.

23. числовые хар-ки дискр случ величин: дисперсия дискр случ велич.

дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины назывся математ ожидание квадрата отклонен случайной от её математич ожидания:

пусть случайная величина задана законом распределения

тогда квадрат отклон имеет следущ закон распределен

по определению дисперсии,

Т.о. чтобы найти дисперс достаточно вычислить сумму произведений возм знач-ий квадрата отклонен-я на их вероятности.

24. формульное задание функций алгебры логики. упрощение записи формул. некоторые свойства элементарных функций

дадим индуктивное определение формулы над

Определение:

пусть , тогда

1. каждая функция называется формулой над М;

2. пусть - либо переменные, либо формулы над М. тогда выражение - формула над М

Формулы будем обозначать заглавными буквами: , имея ввиду функции, участвующие в построении формулы, или имея ввиду переменные, вошедшие в формулу. - формулы, участвующие в построение называются подформулами.

множество всех формул над М обозначим через <М>

Определение 2:

две формулы N и D из <М> называются равными N=D или эквивалентными N~D или эквивалентными, если функции, реализуемые ими, равны.

Упрощение записи формул:

1. внешние скобки можно опускать;

2. приоритет применения связок возрастает в следующем порядке:

~ →

3. связка над одной переменной сильнее всех связок;

4. если связка стоит над формулой, то сначала выполняется формула затем отрицание;

5. если нет скобок, то операции ~ и → выполняются в последнюю очередь.

Некоторые свойства элементарных функций

1. Идемпотентность :

2. коммутативность

3. Ассоциативность поэтому в формулах вида xyz можно не ставить никаких скобок.

4. дистрибутивность

   1. по отношению к :

   2. по отношению к :

   3. по отношению к :

5. Инволюция:

6. Правило Де Моргана:

7. Законы действия с 0 и 1:

8. Самодистрибутивность импликации:

25. Дискретные случайные величины. числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание дискр случ величины, свойства математического ожидания.

математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.

пусть случайная величина X может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны . тогда математическое ожидание M(X) величины Х определяется равенством

если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений то

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Свойства математического ожидания

            1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

            2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

            3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

            Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

            4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

        Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

        Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

            Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

            Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

            Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

 

26, Принцип двойственности Определение 1. Функции f*(x₁, ..., x_n) называется двойственной к функции f(x₁, ..., x_n), если f*(x₁, ..., x_n) = ( ₁, ..., _n).

Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:

x	f	f*
0 1	0 0	1 1

Функции f(x) = x и g(x) = двойственны сами себе:

x	f	f*	g	g*
0 1	0 1	0 1	1 0	1 0

так как f*(0)= (1).

Определение 2. Если f*(x₁, ..., x_n) = f(x₁, ..., x_n), то f(x₁, ..., x_n) называется самодвойственной.

Пример 2. Покажем, что f(x₁,x₂,x₃)=x₁x₂x₃ – самодвойственна:

x1	x2	x3	f	f*
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1

Если f*– самодвойственна, то ( ₁, ..., _n) = f(x₁, ..., x_n), т.е. на противоположных наборах функция принимает противоположные значения.

Пример 3. Покажем, что функция х₁х₂ двойственна к x₁&x₂, функция х₁ х₂ двойственна к функции x₁|x₂.

x1 x2	f=х1х2	f*	g=x1|x2	g*=x1 x2
0 0 0 1 1 0 1 1	0 1 1 1	0 0 0 1	1 1 1 0	1 0 0 0

Теорема о двойственных функциях Если f* двойственна к f, то f двойственна к f*.

Доказательство. f*(x₁, ..., x_n) = ( ₁, ..., _n). Найдем двойственную функцию к f*, т.е. (f*( x₁, ..., x_n))* = ( ( ₁, ..., _n))* = ( ₁, ..., _n) = f(x₁, .., x_n).

Предположим, что функция задана формулой. Можно ли найти по этой формуле двойственную функцию? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Принцип двойственности Теорема: Пусть функция h(x₁, ..., x_n) реализована формулой h(x₁, ..., x_n) = =g(G₁, ..., G_m) = g(f₁(x₁, ..., x_n), ..., f_m(x₁, ..., x_n)), где какие-то переменные могут быть фиктивными. Тогда h*( x₁, ..., x_n) = g*(f₁*( x₁, ..., x_n), ..., f_m*(x₁, …, x_n)), это означает, что если функция задана некоторой формулой, то чтобы получить двойственную функцию, надо в этой формуле все знаки функций заменить на двойственные, 0 на 1, 1 на 0.

Доказательство. h*(x₁, ..., x_n) = ( ₁, ..., _n) = (f₁( ₁, ..., _n), ..., f_m( ₁, ..., _n)) =  _ _ .. _n .  _ . _n  g  ..    g*(f₁*( x₁, ..., x_n), ..., f_m*( x₁, ..., x_n)), что и требовалось доказать.

Если функция h(x₁, ..., x_n) реализуется формулой N[f₁, ..., f_n], то формулу, полученную из N заменой f_i, входящих в нее, на f_i* и реализующую функцию h*(x₁, ..., x_n), будем называть двойственной и обозначать N*(x₁, ..., x_n).

Лемма о несамодвойственной функции Подстановкой функций и в несамодвойственную функцию можно получить одну из констант.

Доказательство. Пусть – несамодвойственная функция. Тогда существует набор , для которого . Построим функцию , заменив единицы в на , а нули – на . Так как , то . Заметим, что .

Тогда , т.е. . Следовательно, функция есть одна из констант.