Тема 2

Аффинные преобразования – введение в тему.

В Компютерной графике широко применяют Аффинные преобразования, наряду с перспективными и рядом других. Однако основа всех преобразований – это аффинные преобразования. Вследствие этого введение в компьютерную графику следует начать со знакомства именно с аффинными преобразованиями.

План лекции

1 Определение аффинных преобразований

2 Растяжения и сжатия

3 Гомотетия

4 Что аффинные преобразования сохраняют

5 Что могут аффинные преобразования

6 Методы решения графических задач с помощью аффинных преобразований

1 Определение аффинных преобразований

Одно из аффинных преобразований – растяжение (сжатие). Если растянуть вдоль какого-то направления круг, то получится лекальная кривая - эллипс.

Если растянуть квадрат в направлении, параллельном одной паре сторон, то получится прямоугольник. Если же квадрат растянуть или сжать в направлении его диагонали, то получится параллелограмм.

Как строго определить, что такое растяжение и сжатие?

Прежде всего растяжения и сжатия, о которых пойдет речь, в определенном смысле, равномерные.

Эта равномерность означает, что все кусочки плоскости растягиваются или сжимаются одинаково.

Кроме того, когда растягивают или сжимают квадрат, его стороны -- отрезки остаются отрезками. Равномерное сжатие или растяжение можно представить, если нарисовать какую-нибудь фигуру на шаре воздушном. Если шар надувается, то фигура растягивается, а если шар сдувается, то фигура сжимается, причем эти преобразования оказываются равномерными.

Такие равномерные растяжения (сжатия) называют аффинными преобразованиями.

Предварительные определения.

Преобразованием называют отображение множества на само себя.

Преобразование плоскости называют аффинным, если оно взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая.

Преобразование называют взаимно однозначным, если разные точки оно переводит в разные, и в каждую точку переходит какая-то точка.

Отображение называют взаимно однозначным (иначе - биективным), если разные элементы переходят в разные, и в каждый элемент переходит какой-то элемент.

Частный случай аффинных преобразований это просто движение без какого-либо сжатия или растяжения. Например, автомобиль на дороге. Движения — это параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации.

Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой.

Рис 1. Примеры движений плоскости с нарисованным на ней домиком.

Рис 2. Примеры аффинных преобразований плоскости с нарисованным на ней домиком.

Обозначим множество движений плоскости как М_от, а множество аффинных преобразований как Аff. Тогда верно следующее утверждение.

Определение 2.

Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.

Доказательство.

Это кажется очевидным. Надо понять, что собственно нужно доказать. А нужно доказать, что любое движение является аффинным. Показать - при движении разные точки переходят в разные, а образ любой прямой есть прямая.

Это интуитивно ясно — фигура при движении не меняют своей формы и размеров, а меняет лишь своё положение на плоскости. Также и прямые будут сохранять свою форму — оставаться прямыми. Движение можно представлять как перемещение листка бумаги с рисунком по парте. При движении разные точки остаются разными, поскольку расстояния сохраняются. Если точки были «разделены» некоторым расстоянием, то и после движения они будут «разделены» этим же расстоянием. Это конец доказательства.

2 Растяжения и сжатия

Определение 3. Растяжением плоскости с коэффициентом относительно прямой называют преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в такую точку , что расстояние от прямой до точки в раз больше, чем до точки , и проекция точек и на прямую совпадают. Если коэффициент положительный, то точки и лежат по одну сторону от прямой , если отрицательный — то по разные.

Рис 3. Сжатия и растяжения относительно прямой.

Докажем, что растяжение (сжатие) относительно прямой есть аффинное преобразование. Во-первых, это преобразование взаимно однозначно. Чтобы доказать это заметим, что для каждого сжатия есть растяжение, которое все точки возвращает на свои места, и наоборот, для каждого растяжения есть возвращающее всё на свои места сжатие.

Теорема 1

Если преобразование обратно преобразованию , а преобразование обратно преобразованию , то и взаимно однозначные преобразования.

Определение 4.

Преобразование называют обратным к преобразованию , если преобразование , применённое после преобразования , все точки возвращает на свои места. Если преобразование точку переводит в точку , то обратное преобразование точку переводит в точку .

Утверждение 2.

Растяжение (сжатие) относительно прямой есть аффинное преобразование.

Доказательство.

Осталось показать, что сжатие и растяжение прямые переводят в прямые. Пусть растяжение осуществляется относительно прямой . Направим вдоль неё ось . Рассмотрим любую прямую . Возможны два случая.

1) Если она пересекается с , то проведем через точку пересечения ось , перпендикулярную . Тогда уравнение прямой будет иметь вид:

При растяжении относительно прямой (оси ) с коэффициентом точка переходит в точку или в сокращенной записи:

растяжение относительно оси 'X' :

т.е точка прямой

перейдёт в точку с координатами

.

А значит, координаты новых точек будут удовлетворять уравнению

— это уравнение прямой. Итак, образы точек прямой лежат на прямой . Здесь прямая займет в плоскости новое положение (изменился угловой коэффициент с «а» на «ка», а образ прямой не изменился - прямая осталась прямой.

2) Если она не пересекается с .

Задача 1[9]. Случай, когда не пересекается с , рассмотреть самостоятельно.

Решение.

Если не пересекается с , то все точки удалены от прямой на определенное расстояние . После сжатия или растяжения относительно они станут точками, удалёнными от прямой на расстояние и по прежнему будут лежать по одну сторону от прямой . А значит, они будут лежать на прямой.

Конец решения.

Конец доказательства.

Итак, кроме движений плоскости аффинные преобразования содержат еще сжатия и растяжения относительно прямой. Если мы применим растяжение относительно одной прямой, а потом относительно другой прямой, то снова получим аффинное преобразование, так как и первое, и второе растяжение сохраняло прямые и разные точки переводило в разные. Поэтому вообще верно

Утверждение 3

Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование:

Здесь использован символ « » композиции. Выражение следует понимать как преобразование плоскости, которое получается после применения преобразования и последующего применения преобразования . Символ « » следует читать как «принадлежит», то есть «содержится внутри как элемент».

Рис 4. При параллельном проектировании с одной плоскости на другую фигура подвергается растяжению (сжатию) относительно прямой пересечения плоскостей.

Задача 2[10]

Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй 1) совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны; 2) является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости, относительно прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.