1Опред., св-ва и прим. Вект-х пр-в.

Числ-е поле Р – мн-во R или C. Внутр. операции – двум эл-м из L соотв-ет третий из L(x+y=z).Внешн. – каждому x из L и каждому α из Р соотв-ет некоторый эл-т из L(αx=z)/ Мн-во L эл-в x,y,z , … наз-ся лин. пр-вом, если в нём определены внутрен. (x+y) и внешн. (αx) опер. удовл-щие аксиомам:

1. x+y=y+x, x,yєL;

2. (x+y)+z=x+(y+z), x,y,zєL;

3.  нейтр-ный эл-т x x є L;

4. x є L  -xє L: x+(-x)=

5. α(x+y)=αx+αy x, y є L; α,βєP ;

6. (α+β)x=αx+βx x є L; α,βєP;

7. α(βx)=(αβ)x x є L; α,βєP;

8. 1*x=x x є L.

Св-ва лин. пр-ва

1. В лин. пр-ве L над полем P  ед-ный нейтр. эл-т. (пусть  и , )

2.  xєL ед-ный –xєL(пусть  -x и , тогда x+(-x)= , x+ = ; ).

3. 0*x= x є L( );

4. (-1)x=-x x є L( ).

Примеры:

Эл-ты любой природы ,удовл-щие двум правилам и 8 аксиомам.Напр., совок-ть любых матриц mxn c действит. эл-тами(P=R). Мн-во свободных векторов трёхмерного пр-ва – L, P=R. Лин. пр-во наз-ся пустым ,если состоит из нулевого эл-та.

2Лин-я зависимость системы векторов.

, , …, (1) – заданные в-ры из L. Система (1) лин. зависима, если сущ-ет ненулевой набор чисел , (не все =0): = (2) Система наз-ся лин. независимой, если рав-во (2) возможно только в том случае, когда все =0.

Пр.1 L=C ; P=R; , =i; , . 1*1+i*i=0 Пр.2Возьмём L=C ; P=R; =i; + =0 <=> ,

Св-ва

1Система (1) сод-т 0 вектор, то она лин. зависима( ; ₁=…=_n-1=0, _n=1; 0*a₁+…+0*a_n-1+1* = ).

2Система (1) сод-т лин. зависимую подсистему, то и сама система лин. зависима.

3Система линейно зависима, то по крайней мере 1 из векторов этой системы выр-ся в виде лин. комбинации остальных векторов.

4 Пусть система (1) лин. независима а набор , , …, лин. зависим, тогда x можно выразить через векторы (1).

3Базис лин. Пр-ва, размерность. Коорд-ты.

Базисом в пр-ве L над полем Р наз-ся система в-ров (1), удовл-я усл-ям:

1Система (1) лин. независима;

2xϵL  : x=α₁a₁+α₂a₂+…+α_na_n(2)

Коорд. в-ра х в базисе (1) – числа (α_iϵP), удовл-щие усл-ю (2)

Св-ва:

1Если коорд. вектора в некотором базисе =0,то это нулевой вектор.

2 во всяком базисе имеет нулевые коорд.

3Коорд. в-ров в заданном базисе определяются однозначно.

4 При сложении векторов их коорд. заданные в одном и том же базисе складываются.

5При умножении вектора на число, его коорд. умн-ся на число.

Число k наз-ся  размерностью лин. пр-ва L, если в L сущ-ет система из k лин. независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — лин. зависима.

Обозначается dimL = k. Пр-во L наз-ся k-мерным. Иногда обозначается L_k.

4. Матрич.Запись коо вект-в, изм. Коо при замене базиса

Вект. х(λ₁,..,λ_n) в некот.базисе (е₁,..,е_n).обозначим Х=(λ₁,..,λ_n)^Т и [e]= (е₁,..,е_n), эл-ми явл. базисн. вект.

Тогда вект. Х можно предст. след.обр. х=[e]Х=х₁е₁+..+ х_nе_n т.е это разлож. вектора х по базису.

Т.для того, чтобы вект. х₁, х₂,.., х_п были лин.зав. необх. и дост., чтобы коо-столбцы этих вект. В некот. Базисе были лин.зав.

Т.матричн.критерий. для того,чтобы вект. Были лин.зав., необх и дост, чтобы матрица, сост. из коо. Столбцов этих вект. В некот.базисе была меньше числа вект.

Преобр.базисов и коо. Пусть им-ся 2 базиса[e]=[е₁,..,е_n], [e’]=[е₁’,..,е_n’]в одном пр-ве L над P.выразим коо штрих. базиса ч/з коо нештрих.

коо в нештрих.базисе штрих-го. Матрица Т наз-ся матрицей перехода от [e]к[e’] [e’]=[e]T. – связь между двумя базисами

Св-ва матрицы перех:

1.матрица перех. Опр-ся однозначно. Это след-ет из одно-ти разлож. Вект-в по бизасу.

2. матрица перех. невырожденн. Это след-ет из матричн.критерия лин.зав-ти вект-в.

3. матрица перех. от базиса [e]к[e] единичная

4. пусть Т-матрица перех.от [e]к [e’]. А матрица Q от [e’]к [e’’].Тогда матрица перех от [e]к [e’’] будет TQ.

5. если Т-матрица перех. от [e]к [e’],то T^-1есть матрица перех. от[e’] к [e].

Преобр. коо вект-в при перех. К новому базису

Псть даны базисы [e], [e’] и матрица Т, т.е. [e’]=[e]T. Возьмем произв.вектор х и его можно предст. х=[e]Х=[e’]Х’; [e]Х=[e]TХ’=> поск-ку коо вект-ра в данном базисе опр-ся однозначно X=TX’