- •Численное интегрирование.
- •§17. Формула прямоугольников.
- •§18. Формула трапеций.
- •§19. Формула Симпсона (парабол).
- •§20. Приемы приближенного вычисления несобственных интегралов.
- •§21. Приближенное вычисление кратных интегралов.
- •1. Аналог формул прямоугольников.
- •2. Аналог формулы касательных.
- •3. Аналог формулы трапеций.
- •4. Аналог формул Симпсона.
Численное интегрирование.
Для приближённого вычисления определённого интеграла разобьём отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками x0=a, x1=x0+h,…, xi+1=xi+h,…,xn=b
(h - шаг разбиения, ).Значения функции f(x) в точках разбиения xi обозначим yi. Непрерывная подинтегральная функция y=f(x) заменяется сплайном (кусочно-полиномиальной функцией) S(x), аппроксимирующей данную функцию. Интегрируя функцию на отрезке [a, b], придём к некоторой формуле численного интегрирования (квадратурной формуле).
В зависимости от функции S(x), аппроксимирующей подинтегральную функцию, будем получать различные квадратурные формулы.
§17. Формула прямоугольников.
Если на каждой части [xi-1, xi], i= деления отрезка [a, b] функцию f(x) заменить функцией, принимающей постоянное значение, равное, например, значению функции f(x) в серединной точке i-й части, то есть то функция S(x) будет иметь ступенчатый вид:
.
В этом случае и получаем квадратурную формулу прямоугольников
(1).
Пример. Найти приближённое значение интеграла по формуле прямоугольников.
Решение. Пусть n=10.Тогда x0=0, …, x10=1.
,
=
Погрешность квадратурной формулы оценивается величиной остаточного члена R(h), зависящего от шага разбиения h (или от числа разбиений n).
y
f(0) f(h)
O a b x |
На одном (первом) отрезке разбиения имеем: где 0£с£h. Если то проинтегрируем неравенство на отрезке [0, h]:
|
Но легко заметить, что тогда откуда (переходя от h к x) получим: , где , то есть, уже на всем отрезке [a, b]. Таким образом получаем общую погрешность на [a, b]
(так как hn= b - a).
§18. Формула трапеций.
Если функцию f(x) на каждом отрезке [xi-1, xi] заменить её линейной интерполяцией по точкам (xi-1,yi-1),(xi, yi) то получим непрерывную кусочно-линейную функцию
.
Здесь yi=f(xi). Графиком этой функции является ломаная линия. В этом случае
и получаем квадратурную формулу трапеций: таким образом:
(1).
y
f(0) f(h) O a b x |
Оценка погрешности этой формулы:
|
где , а тогда а общая погрешность на [a, b] тогда равна .