№ 1. Расширение понятия числа в школьном курсе математики.

Понятие числа – стержневое понятие школьного курса математики. Линия развития понятия числа строится по принципу расширения множества А до множества В, при котором: 1) А должно быть подмножеством множества В; 2) операции над элементами из А те же, что и для элементов из В, но смысл тех операций, которые были только в множестве А, неизменным; 3) в множестве В должна быть выполнена операция, которая в множестве А была невыполнима или не всегда выполнима; 4) расширение В должно быть минимальным из всех расширений множества А.

Преподавание вопросов связанных с развитием учения о числе учитель строит

таким образом, чтобы ясна была связь понятий равенства, сумма и произведение, с одной стороны, и понятие числа, с другой. Таким образом, для того чтобы новые числа были равноправными, необходимо введение определения:

1. понятие равенства и установление критерия сравнения новых чисел между собой и с ранее известными числами;

2. понятие суммы;

3. понятие произведения.

Необходимо показать, что новые числа подчиняются всем законам арифметических действий, установленным для изучаемых ранее числам. Целесообразность вводимых определений иллюстрируют рассмотрением конкретных примеров. Каждый этап развития числа состоит из: 1) мотивировки (алгебраический или алгебраический; например, появление отрицательных чисел – алгебраический, дробных чисел - практический); 2) подтверждение.

Изучение арифметики натуральных чисел основано на наглядности. Учащиеся должны твердо усвоить, что любое натуральное число может быть изображено точкой на координатном луче, но не всякой точке на этом луче отвечает натуральное число. Этот последний факт готовит учащихся к пониманию необходимости введения новых чисел. Учащиеся знакомятся с одним из свойств множества натуральных чисел – бесконечностью. При изучении законов арифметических действий, во избежании формализма необходимо отметить их теоретическое значение. В частности, коммутативный и ассоциативный законы умножения целесообразно связать с геометрическим материалом(вычислением площадей прямоугольников, объёмом прямоугольных параллелепипедов).

Следующее расширение понятия числа – знакомство учащихся с отрицательными числами. С методической стороны введение отрицательных чисел особых затруднений не представляет, т.к. дети часто встречаются в жизни. Наибольшую трудность в их изучении представляет обоснование действии над ними.

Введение понятия отрицательного числа требует дать определение:

1. модуля (мотивировать это можно на конкретной задаче) как расстояние от точки, изображающей это число, до начальной точки. На основании такой геометрической интерпретации поясняется свойство модуля – он не может быть отрицательным, иначе говоря, модуль числа – есть число неотрицательное. Очень часто учащиеся считают его числом положительным, это можно объяснить отработкой учителя этого понятия, т.к. очень редко понятие расстояния связывается с начальной точкой(например, на каком расстоянии находится точка О от начальной точки?).

2. противоположных чисел (основано на понятии симметричных точек).

Сравнение положительных и отрицательных чисел иллюстрируется конкретными примерами и с помощью геометрических образов, что позволяет подготовить учащихся к введению соответствующих определений. И так как множество рациональных чисел включает в себя множество натуральных чисел, то сравнение их необходимо проводить таким же образом.(Напомним: из двух натуральных чисел большее то из них, которое на координатной прямой правее и наоборот, если числа равны, то соответствующие им точки совпадают).

В школьном курсе определение действия обычно даётся в виде правила. Относительно операции сложения целых чисел, отдельно определяется сложение чисел с разными знаками и сложение отрицательных чисел. Для того чтобы учащихся подвести к определению действия сложения используются конкретные задачи на сложение чисел с помощью координатной прямой.

№6. Функциональная линия школьного курса математики – одна из ведущих, определяющая стиль изучения тем в курсах алгебры и начала анализа. Её особенность состоит в представлении возможности установления разнообразных связей в обучении.

В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе функциональной линии в системе обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредотачивалось на:

1. выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией;

2. установлении их взаимодействия при развёртывании учебного материала.

Выделена система компонентов и установлена связь между ними. В систему входят такие компоненты: 1) представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и математике; 2) представление о функции как о соответствии;3) построение и использование графиков функций, использование графиков функций; 4) вычисление значений функций, определённых различными способами;

Введение понятия ведётся по трём основным направлениям: 1) упорядочение основных представлений о функции; развёртывание системы понятий, характерных для функциональных линий (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значения, возрастания и т. д. на основе метода координат); 2) глубокое изучение отдельных функций и их классов; 3) расширения области приложения алгебры за счёт включения в нею идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией.

Первое направление появляется в алгебре ранее остальных. Основной акцент – усвоение учащимися однозначности соответствия аргумента и определяемого по нему значения функции. Из разнообразных способов задания функции чаще всего используется способ задания функции формулой остальные способы задания – подчинённые. Сопоставление различных способов задания вызвано практической потребностью и важно для усвоения всего многообразия понятия функции.

№15. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества.

Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия , и острых углов треугольника вводится для углов от до , как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.

A K M P F

C B A N E A

Назовите катеты в ABC, APN. Назовите гипотенузы в LKM и EFA. Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в указанных треугольниках и почему?

Следующие выражения «прилежащий» и «противолежащий» отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL, PN, EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.

Первым вводится понятие угла и доказывается теорема: « Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника». Это определение уже « работает» при доказательстве теоремы Пифагора.

С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте « Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике». sin , tg

B

C A

Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.

Для синуса это доказывается так:

= ,

так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.

Из определений , и получаем следующие правила:

• Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус ;

• Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;

• Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .

По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.

Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN= , LM= , гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).

Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.

После введения понятий , и рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.

Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти A, B, c.

Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти A, B, b.

Задача №3. Дано: a, A. Требуется найти A, b, c.

Задача №4. Дано: a, B. Требуется найти A, b, c.

Задача №5. Дано: a, A. Требуется найти B, a, b.

По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол . Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Вводятся основные тригонометрические тождества:

, , , .

В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:

, .

Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла и возрастают, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:

A

C B

, , тогда , .

, тогда из равенства правых частей получаем: .

, тогда .

Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:

D

C

A B

Пусть и - острые углы, и , и она пересекает стороны углов и в точках и соответственно.

Так как , то точка лежит между точками и , тогда . А значит, по свойству наклонных, (через сравнение их проекций). Так как , , то косинус убывает. А так как , то синус возрастает.

№16. Методика введения определений тригонометрических функций углов от до .

Расширение области определения тригонометрических функций от до происходит в теме: «Декартовы координаты на плоскости».

y

R

A(x, y)

R B x

R

К

Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость угол . Пусть точка имеет координаты и . , , то из треугольника : , .

Определяются значения и этими формулами для любого угла α (для ⁰-исключается). Можно найти значения этих функций для углов 90⁰, 0⁰, 180⁰. Доказывается, что для любого угла α , 0⁰<α<180⁰, .

п

y

овернем подвижный радиус на угол 180⁰-α=

А₁(x₁, y₁)

180⁰-α

A(x, y)

по гипотенузе и острому углу: => OB₁=OB; A₁B₁=AB => x = -x₁,y = y₁=>

x

B

B₁

α

R

O

Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 0⁰ до 180⁰; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".

Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:

1. построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC;

2. обозначить величину острого угла А буквой α;

3. измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;

4. вычислить отношение

5. записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);

6. измерить транспортиром угол α, найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.

Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 37⁰. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37⁰, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37⁰, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37⁰. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37⁰ при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos, sin и tg α связывается еще две формулы:

Определение cos, sin, tg углов от 0⁰ до 180⁰ являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.

В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 0⁰ до 180⁰. Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"

Сравним доказательства основного тригонометрического тождества: для острых углов и для углов от 0⁰ до 180⁰:

0⁰<α<90⁰ 0⁰≤α≤180⁰

1 1

2 2

3 3

В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos, tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α. Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.

Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.

№18. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры и начала анализа.

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:

• в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;

• затем введенные понятия обобщаются для углов от до ;

• тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:

1. Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;

2. Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);

3. Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;

4. Утверждение функциональной точки зрения на , , и (трактовка , , и как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);

5. Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;

6. Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

В курсе «Алгебра 9» учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения и определимы при , т.к угла поворота можно найти соответствующее значение дробей и . Выражение имеет смысл при , кроме углов поворота , , …, т.к. имеет смысл дробь .

Каждому допустимому значению соответствует единственное значение , , и . Поэтому , , и являются функциями угла . Их называют тригонометрическими функциями.

Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:

1. область значения и ­­- , для и - множество всех действительных чисел

2. промежутки знакопостоянства: , то значит зависит от знака и т.д.

3. , и являются нечетными функциями, а является четной функцией

4. при изменении угла на целое число оборотов значение , , , не изменится (под обратным понимаем поворот на ).

Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. .

Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.

Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где .

Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:

1 четверть: , ;

2 четверть: , ; и т.д.

Определение тригонометрической функции выглядит так:

Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной

окружностью. Пусть точка единичной окружности получена при повороте точки на угол в радиан. Ордината точки - это синус угла . Числовая функция, заданная формулой , называется синусом числа, каждому числу ставится в соответствие число .

Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства: ; .

Построим график функции на . Д елим единичную окружность и отрезок на 16 равных частей.

Через точку проводим прямую, параллельную . Проводим прямую до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции , называемого синусоидой.

Отрезок оси , с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.

Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что . Поэтому во всех точках вида , где , значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси .

Для построения графика косинуса следует вспомнить, что . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке равно значению синуса в точке . Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние в отрицательном направлении оси . Поэтому график функции также является синусоидой.

Для функций и определяется аналогично. Область определения - множество всех чисел, где .

Построение графика: проведем касательную к единичной окружности в точке .

Пусть произвольное число, для которого . Тогда точка не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая пересекает в некоторой точке с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая проходит через точки и . Поэтому она имеет уравнение .

Абсцисса точки , лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой находим, что ордината точки равна . Итак, ордината точки пересечения прямых и равна . Поэтому прямую называют линией тангенсов.

Н

етрудно доказать, что абсцисса точки пересечения прямой с касательной m к единичной окружности, проведённой через точку , равна при .

Поэтому прямую m называют линией котангенсов.

Область значений - вся числовая прямая. Докажем это для функции . Пусть - произвольное действительное число. Рассмотрим точку . Как только что было показано, равен . Следовательно, функция принимает любое действительное значение , ч.т.д.

Построение графика аналогично построению .

Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:

1. Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).

2. Для функции выбираем отрезок , для функции - и делим их на то же равное число частей.

3. По окружности находим соответствующее число значений этих функций.

4. Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.

№19. Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.

1. Функции тригонометрических функций для углов от до

(прямоугольный треугольник, планиметрия);

2. Тригонометрические функции для углов от до

(тема: ”Декартовы координаты на плоскости; геометрия”);

3. Тригонометрические функции для любого действительного числа.

Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с три­гонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение “выделить” эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.

К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов,площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.

№21. Образовательные цели изучения производной функции.

Цель изучения курса алгебры и начала анализа в 10-11 в.в. систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовки необходимого апорта для изучения геометрии и физики.

Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началом анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения: уровень строгости изложения определяется с учётом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах.

При изучении темы «Производная» проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер.

Включённые в курс сведения о пределах имеют вспомогательный характер, они не обходимы для вывода формул производных. Основное внимание должно быть уделено не формальному применению теорем о пределах, а сознательному проведению предельных переходов для приближённого вычисления значений конкретных функций и их приращений. Многочлены невысоких степеней и их частных -наиболее простой объект для иллюстрации идеи предельного перехода.

Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ – касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной.

При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума.

Решение тестовых задач физического, геометрического и практического содержания с применением производной позволяет учащимся ознакомиться со всеми этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на язык функций), решение полученной задачи средствами математического анализа, и наконец, интерпретация полученного решения в терминах исходной задачи.

№22. Методическая схема изучения производной.

1. Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t , т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением , причём чем меньше значение , тем менее «заметно» изменение средней скорости падения. При , отношение стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути в момент времени t.

В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:

Пусть -параметр данного процесса, зависимости от x ; найти скорость изменения параметра в момент, когда . Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра , соответствующую приращению .

2. Сформулировать определение понятия производной.

Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.

Например:

После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:

Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное отношение:

Полезен небольшой анализ формулировки определения, позволяющий чётче выделить признаки данного понятия: 1) число, 2) к которому стремится разностное отношение

3. при

Закреплению определения производной способствует вопрос: «Как найти производную функции в точке ?», ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение ; 2) находим приращение функции в точке ; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число (если такое число существует), к которому стремится при

III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)

Первый пример на выяснение производной полезно выполнить на двух уровнях: а) задано конкретным числом; б) берётся в общем виде.

Например: Дана функция . Найти её производную в точке: а) x=2; б)

а) Придадим приращение в точке х=2, новое (приращённое) значение аргумента –(2+ ). Найдём приращение функции: . Вычислим разность отношения Оно стремится к 2 при

б) , приращённое значение аргумента : +

.

Составим разностные отношение: , которые при стремится к числу .

Для конкретизации понятия производной может быть использован графический метод, суть которого в следующем:

1) На примере функции покажите, что разностное отношение есть функция с аргументом . Охарактеризуйте эту функцию. Обратимся к рассмотренному примеру:

, , . Наша функция возрастающая, т.е. если

2) Постройте график функции и с его помощью покажите число, к которому стремится отношение при . Пусть

3) Мотивировать необходимость теорем о вычислении производной, сформулировать и доказать эти теоремы.

4) Рассмотреть приложение производной.

№23. Методическая схема изучения первообразной функции.

В школьном учебнике были “испытаны” различные варианты введения понятия интеграла. В первых изданиях учебного пособия (под ред. А.Н. Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм.

Методическая схема изучения первообразной:

1. рассмотреть примеры взаимно обратных операций;

2. ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования;

3. выполнить упражнения типа: “Доказать, что данная функция есть первообразная другой данной функции ”, “Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции ”;

4. ознакомить учащихся с основным свойством первообразной;

5. составить таблицу первообразных;

6. ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных;

7. решить физические задачи с применением первообразной.

Определению первообразной предшествует задача из механики. . Если в начальный момент времени скорость тела равна 0, т.е. , то при свободном падении тело к моменту времени пройдет путь: . Продифференцировав ее, получаем ; - ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение точки , требуется найти закон изменения скорости и координату . Для решения таких задач служит операция интегрирования.

При введении понятия первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число – их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое может быть “восстановлено” выполнением операции вычитания. Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является квадратом некоторого числа: . Выполнив обратную операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3.

Дифференцирование функции приводит к новой функции , которая является производной функции Пусть теперь известно, что производная некоторой функции равна , т.е.: ; требуется найти функцию .

Операция нахождения функции по ее производной называется интегрированием. Выполняя интегрирование, можем получать следующие результаты: ; ; и т.д. Функция называется первообразными функции . Таким образом, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования называется первообразной. После этого сообщается определение первообразной: функция называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка .

Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.

Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки. Например: найти такую первообразную функции, график которой проходит через данную точку.

Целесообразно обратить внимание учащихся на следующее: запись F(x)+c (общий вид первообразных для функции f(x) на заданном промежутке). Она связывает нас, с одной стороны, с произвольным значением постоянной с, а с другой стороны, в зависимости от условия предложенной для решения задачи – с конкретным. С этой целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач. Чтобы показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне определенной первообразной, можно предложить учащимся найти управление пути, если за 2 секунды тело прошло 15 м.(найти уравнение кривой, проходящей через фиксированную точку А(1;2)).

Решение обеих задач связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют указанным начальным условиям.

Работа с задачами убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных (именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).

Изучение вопроса о правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум взаимообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.

Например, введение третьего правила (ели F(x)-первообразная для функции f(x),а k(k0) и b – постоянные, то (1/k)F(kx+b) есть первообразная для функции f(kx+b) ), можно предварить рассмотрением с учащимися следующих задач:

1. Найти производные функций: sinx; sin4x; sin(4x+3);

2. Найти хотя бы одну первообразную для функции: cosx; cos4x; cos(4x+3).

Анализ решений этих задач и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных, доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.

№24. Центральное место в изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: “Пусть f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a).”