Лабораторная работа №7 Решение уравнений в частных производных методом сеток.

Задание.

Решить одномерное уравнение теплопроводности методом сеток.

Пример.

Используя явную схему метода сеток, проинтегрировать одномерное уравнение теплопроводности со следующими начальными и граничными условиями: , , , , .

Выполнение работы.

Наиболее простой конечно-разностной схемой, применяемой для численного решения уравнений с частными производными, является явная схема. В случае одномерного уравнения теплопроводности она записывается следующим образом:

, j = 1, ... , n , ( 10 )

где , n - число узлов cетки по x. ( 11 )

1. В первой строке введем названия параметров: n , l , c , x, , , t, , , а под ними в соответствующих ячейках - числовые значения (n=10, l=1, c=1). Для x вводим соответствующую формулу =B2/A2 (x=l/n). Исходя из условий устойчивости явной схемы, выбираем  и выражаем t через  из уравнения ( 11 ) (=$D$2*$D$2*0,5). Для параметров функций, задающих краевые и начальные условия, выбираем следующие значения: 

2. В столбце А, как мы уже делали в предыдущих работах, разместим вычисление значений x, соответствующих узлам сетки. В третьей строке разместим формулы, вычисляющие значения узлов по времени. В столбце В разместим формулы, вычисляющие начальное распределение температуры по длине стержня =EXP($E$2*A4-$E$2*A4*A4) , а в четвертой и четырнадцатой строках, начиная со столбца С, - формулы, вычисляющие значения температуры на концах стержня: =EXP(-$H$2*C$3*C$3+$I$2*C$3) .

3. В ячейку С5 вводим формулу, реализующую конечно-разностное уравнение ( 10 ) -=B5+$F$2*(B6-2*B5+B4). Распространяем эту формулу на всю область, ограниченную краевыми и начальными условиями.

4. Результирующая таблица и построенная с использованием данных из блока A3:J14 диаграмма представлены на рис. 24 и 25.

Рис. 24. Решение одномерного уравнения теплопроводности с использованием явной схемы метода сеток.

Рис. 25. Графическое изображение решения одномерного уравнения теплопроводности.

Литература

1. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. 6-е изд. - М.: ИНФРА-М, 1995.

2. Шиб Й. Windows 3.1 (русская версия ) : Пер. с нем. - М. : БИНОМ, 1995.

3. Николь Н., Альбрехт Р. Электронные таблицы Excel 5.0: Практ. пособ. / Пер. с нем. - М.: ЭКОМ.,1995.

4. Наймершайм Дж. Excel 5.0 for Windows: Учебное пособие / Пер. с англ. - М.: Междунар. отношения, 1995.

5. Осейко Н. Н. Excel 5.0 для пользователя: - К.: Торгово - издательское бюро ВНV, 1994.

6. Альтхаус М. Excel. Секреты и советы / Пер. с нем. М.: БИНОМ, 1995.

7. Основы работы с Excel 5.0 : Методические указания / ИГХТА. - Иваново, 1996.

8. Численные методы : Методические указания / ИХТИ. - Иваново, 1988.

9. Методические указания и задания к практическим занятиям по вычислительной математике : Методические указания / ИХТИ. - Иваново, 1988.

10. Моделирование сложных изотермических реакций, описываемых линейными дифференциальными уравнениями : Методические указания / ИХТИ. - Иваново, 1992.