Глава 9 Линейное пространство. Подпространство линейного пространства

9.1 Понятие линейного пространства

Рассмотрим множество V элементов x, y, z, ... и множество R

действительных чисел. Определим операцию «сложения» элементов множества V (ее называют внутренней операцией): любой упорядоченной паре элементов

действительное число удовлетворяли следующим аксиомам:

y V , z V .

III Существует нулевой элемент, т.е. такой элемент, который в сумме с любым элементом x дает тот же элемент x ; обозначим нулевой элемент символом θ , тогда x +θ = x , для любого x V .

IV Для каждого элемента x V существует противоположный элемент, т.е. такой элемент, который в сумме с данным дает нулевой элемент; элемент,

«сложения» элементов и «умножения» элемента на действительное число, удовлетворяющие аксиомам I – VIII, называется действительным линейным пространством (или действительным векторным пространством). Элементы действительного линейного пространства называют векторами.

Обращаем внимание читателя, что внутренняя операция «сложения» на самом деле может и не быть сложением в обычном понимании, а может быть, например, вычитанием, умножением, логарифмированием по определенному основанию и т.д. В точности также дело обстоит и с внешней операцией – «умножением». В дальнейшем, помня это, кавычки для удобства записи будем

222

опускать, однако обязательно будем оговаривать в каждом отдельном случае, что означает в этом конкретном примере операция сложения и что означает операция умножения.

Итак, дано определение действительного линейного пространства. Если бы мы предположили, что в множестве V определено умножение не только на действительные, но и на любые комплексные числа, то, сохраняя те же аксиомы I

– VIII, получили бы определение комплексного линейного пространства. Для определенности ниже рассматриваются действительные линейные пространства, однако все, что будет сказано в настоящей главе, переносится дословно на случай комплексных линейных пространств.

Для линейного пространства справедливы следующие теоремы:

Теорема 9.1 В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент.

Доказательство. Предположим, что в линейном пространстве V имеются два нулевых элемента θ1 и θ2 , тогда θ1 +θ2 =θ1 и θ1 +θ2 =θ2 , поэтому θ1 =θ2 .

Теорема 9.2 Для любого элемента x линейного пространства существует

Теорема 9.3 Для элемента − x противоположным будет элемент x .

Доказательство. Поскольку − x + x = x + (−x) (по аксиоме I) и x +( −x ) =θ

(по аксиоме III), то − x + x =θ , а это означает, что x - элемент, противоположный элементу − x .

элемент, противоположный элементу x .

Доказательство. Поскольку −1 x + x = (−1 +1)x = 0x =θ , или −1 x + x =θ , то −1 x - элемент, противоположный элементу x , т.е. (−1)x = −x .

Теорема 9.6 Для любого числа α произведение αθ =θ , где θ – нулевой элемент.

Доказательство.αθ =α(x + (−x)) =α(x + (−1)x) =αx +α(−1)x =αx + + (−αx)=θ , αθ =θ .

223

Следствие непосредственно вытекает из 4, 6 – 8.

Примеры линейных пространств:

1) Множество всех свободных векторов a(a1 , a2 , a3 ), где a1 , a2 , a3 могут

принимать любые действительные значения, для которых определены сложение и умножение вектора на число является линейным пространством. Обозначим это линейное пространство символом V3 . Отметим, что роль нулевого элемента здесь

играет нуль-вектор; для любого вектора a противоположным является − a .

2)Множество всех матриц размеров m × n , для которых определены сложение матриц и умножение матрицы на число обычным образом, является

линейным пространством. Роль нулевого элемента здесь играет нулевая матрица; для матрицы (aik )mn противоположной будет матрица (− aik )mn .

3)Множество {Pn (x)} всех алгебраических многочленов степени, не

превышающей натурального числа n , для которых операции сложения многочленов и умножения многочлена на действительное число определены обычными правилами, является линейным пространством. Роль нулевого элемента играет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю; для многочлена

Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 +... + an−1 x + an .

противоположным будет

− Pn (x) = −a0 xn − a1 xn−1 −... − an−1 x − an .

224

9.2 Линейная зависимость векторов

Вектор y называют пропорциональным вектору x , если y = kx для

некоторого числа k . В аналитической геометрии такие векторы называются

коллинеарными. Вектор y называют линейной комбинацией (конечной)

системы векторов x1 , x2 , ..., xs , если существуют такие числа α1 , α2 , ..., αs , что

При этом говорят также, что вектор y линейно выражается через векторы

x1 , x2 , ..., xs .

Если вектор b линейно выражается через систему вектора x1 , x2 , ..., xs ,

то он будет линейно выражаться и через любую конечную систему векторов, включающую в себя систему x1 , x2 , ..., xs .

Действительно, если выполняется равенство y =α1x1 +α2 x2 + ... +αs xs + 0 xs +1 + ... + 0 xr .

Это равенство означает, что вектор b линейно выражается через систему векторов x1 , x2 , ..., xr .

Конечная система векторов x1 , x2 , ..., xr называется линейно зависимой, если существуют такие числа α1 , α2 , ..., αr , не все равные нулю, что

В противном случае система векторов x1 , x2 , ..., xr линейно независима.

Система векторов x1 , x2 , ..., xs линейно зависима тогда и только тогда,

когда хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные векторы.

Действительно, если система векторов x1 , x2 , ..., xs линейно зависима, то выполняется равенство

векторов x1 , x2 , ..., xs линейно зависима.

Например, рассмотрим линейное пространство многочленов не выше

p3 = 3 + 5t + 7t 2 линейно зависимы.

225

Действительно, эти вектора линейно зависимы, так как p3 =1 p1 +1 p2 .

Совокупность элементов, каждый их которых есть элемент системы x1 , x2 , ..., xn , называется подсистемой этой системы.

Две конечные системы векторов называют эквивалентными, если они линейно выражаются одна через другую.

Непосредственно легко проверить, что

1)эквивалентность систем векторов обладает свойством транзитивности, т.е. если первая система векторов эквивалентна второй, а вторая – третьей, то первая система векторов эквивалентна третьей;

2)если вектор линейно выражается через данную систему векторов, то он линейно выражается через любую другую систему векторов, эквивалентную данной.

Теорема 9.9 (основная теорема о линейной зависимости векторов)

Пусть даны две системы векторов x1 , x2 , ..., xr и y1 , y2 , ..., ys , причем первая

линейно независима и линейно выражается через вторую. Тогда число векторов в первой системе не превышает числа векторов во второй, т.е. r ≤ s .

Доказательство. Утверждение теоремы, по существу, означает, что из s векторов нельзя создать систему линейных комбинаций этих векторов, которая, с одной стороны, линейно независима, а с другой – содержит более s векторов.

По условию теоремы система векторов x1 , x2 , ..., xr линейно независима и

Допустим, что r > s , и рассмотрим линейную комбинацию векторов

λ1x1 + λ2 x2 + ... + λr xr .

В силу равенств (9.4) эту линейную комбинацию можно представить следующим образом:

λ1x1 + λ2 x2 + ... + λr xr = ∑i =r1λi xi = ∑i =r1λi ∑j s=1xi y j = ∑j s=1 ∑i =r1 xij λi y j .

В рассматриваемой линейной комбинации векторов попытаемся подобрать числа λ1 , λ2 , ..., λr так, что они одновременно не равны нулю, но при этом все

коэффициенты при векторах y1 , y2 , ..., ys обнуляются. Это означает, что набор чисел λ1 , λ2 , ..., λr является решением системы линейных однородных уравнений

226

При r > s число неизвестных в системе превышает число уравнений, поэтому она имеет ненулевое решение. Любое ненулевое решение системы дает такой набор коэффициентов λ1 , λ2 , ..., λr , одновременно не обращающихся в нуль,

для которых

λ1x1 + λ2 x2 + ... + λr xr = 0 .

Существование таких коэффициентов равносильно линейной зависимости векторов x1 , x2 , ..., xr , что противоречит условию теоремы. Значит,

предположение r > s неверно и на самом деле r ≤ s . Что и требовалось доказать.

Следствие. Любые две эквивалентные линейно независимые системы векторов имеют одинаковое число векторов.

Действительно, по доказанной теореме для двух линейно независимых эквивалентных систем векторов количество векторов в первой системе не превышает количества векторов во второй. Но системы в этом утверждении можно поменять местами, поэтому в первой системе не меньше векторов, чем во второй.

Заметим, что любые две максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов эквивалентны. Значит, согласно доказанному следствию они имеют одно и то же число векторов.

9.3 Размерность и базис линейного пространства

Линейное пространство V называется n -мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n +1 векторы являются линейно зависимыми. Число n называется в этом случае размерностью линейного пространства V . Итак, число n называется размерностью линейного пространства V , если выполняются следующие условия:

1)в V существует n линейно независимых векторов;

2)любая система n +1 векторов из V линейно зависима.

Размерность линейного пространства V обозначается dimV (от французского слова dimension – размерность). Если пространство состоит из одного нулевого элемента, его размерность считают равной нулю. Введенное понятие размерности согласуется с наглядным представлением о ней; так, пространство V3 всех свободных векторов является трехмерным ( dimV3 = 3 ),

пространство V2 - двумерным, пространство V1 - одномерным.

Базисом n -мерного линейного пространства Vn называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.

227

Линейное пространство, в котором имеется базис, состоящий из конечного числа векторов, называется конечномерным. Примерами конечномерных пространств являются пространства V1 , V2 , V3 , An , рассмотренные выше.

Линейное пространство называется бесконечномерным, если при любом натуральном числе m в нем найдется m линейно независимых векторов.

Примером бесконечномерного пространства будет множество всевозможных действительных функций действительного переменного, если сложение функций и их умножение на действительное число понимать так, как это принято в теории функций, т.е. как сложение или умножение на число значений функций при каждом значении независимого переменного.

Приведем примеры базисов некоторых линейных пространств.

1)Базис пространства V3 образует любая тройка некомпланарных

векторов, так как эти векторы линейно независимы.

2)Базис пространства V2 образуют два любых неколлинеарных вектора,

поскольку они линейно независимы и любой вектор плоскости, определяемый этими двумя векторами, можно разложить по ним.

3) Базисом линейного пространства V1 является любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой.

пространстве P2 . Действительно, эти многочлены линейно независимы, и любой

5)Рассмотрим некоторое линейное пространство An , состоящее из

элемент этого пространства, образует линейно зависимую систему, т.е. докажем, что векторы e1 , e2 , ..., en образуют базис пространства An . Действительно,

линейная комбинация векторов (9.5) представляет вектор

α1e1 +α2e2 + ... +αn en = (α1 , α2 , ..., αn ),

который является нулевым лишь при α1 =α2 =... =αn = 0 . Это означает, что

векторы (9.5) линейно независимы. Поскольку

x = (x1 , x2 , ..., xn )= x1e1 + x2e2 + ... + xn en

есть линейная комбинация векторов (9.5), то система e1 , e2 , ..., en , x линейно зависима. Следовательно, линейное пространство An будет n -мерным, а система векторов (9.5) образует базис этого линейного пространства.

228

Доказательство. В силу определения базиса линейного пространства V любой вектор x V имеет хотя бы одно представление вида (9.6). Предположим, что наряду с разложением (9.6) есть и другое разложение

x = x1′e1 + x2′e2 + ... + x′n en

вектора x . Тогда будет выполняться равенство

x = x1e1 + x2e2 + ... + xn en = x1′e1 + x′2e2 + ... + xn′en ,

которое приводит к равенству

(x1 − x1′)e1 + (x2 − x′2 )e2 + ... + (xn − x′n )en = 0 .

Последнее равенство в силу линейной независимости системы векторов

базису единственно.

Линейное выражение (9.6) вектора x через векторы базиса, единственное в силу сформулированной теоремы, называют разложением вектора x по базису e1 , e2 , ..., en . Это разложение удобно записывать в матричной форме

x1

x = x1e1 + x2e2 +... + xnen = (e1 , e2 , ..., en ) xM2 = e [x],

xn

где e = (e1 , e2 , ..., en ) - заданный базис, записанный в виде матрицы-строки, а [x] -

229

Векторы линейного пространства V полностью определяются своими координатами в данном базисе. При этом операции над векторами сводятся к аналогичным операциям над их координатами. Так, для векторов

и

λx = λ(x1e1 + x2e2 + ... + xn en )= (λx1 )e1 + (λx2 )e2 + ... + (λxn )en

показывают, что при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Например, в некотором базисе даны векторы x(2, −1, 3, 5) и y(−1,4, 0, − 2) . Найдем координаты вектора 2x − 3y .

Решение. Учитывая свойство (9.7), находим координаты вектора 2x − 3y : (2 2 − 3 (−1), 2 (−1) − 3 4, 2 3 − 3 0, 2 5 − 3 (−2)) = (7, −14, 6, 16).

линейного n -мерного пространства, координаты которых заданы в одном и том же базисе. Системе векторов (9.8) поставим в соответствие матрицу

в k -м столбце которой записаны координаты вектора xk ( k =1, 2, ..., m ). Матрицу

(9.9) называют матрицей системы векторов (9.8) в данном базисе, а ранг этой матрицы – рангом системы векторов x1 , x2 , ..., xm . Обратно, если дана матрица

(9.9), ей можно поставить в соответствие систему (9.8) m векторов линейного n - мерного пространства. Столбцы матрицы (9.9) линейно зависимы, если векторы (9.8) линейно зависимы и обратно.

Приведем без доказательства теорему, которая позволяет судить о линейной независимости векторов, заданных своими координатами.

230

Теорема 9.11 Для того чтобы m векторов линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен m .

Следствие 1. Система n векторов n -мерного линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда матрица этой системы векторов является невырожденной.

Следствие 2. Если ранг матрицы системы m векторов линейного пространства равен r , максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно r .

Например, найдем максимальное число линейно независимых векторов в системе a1 (1, 4, 2, 7) , a2 (−1, − 2, − 3, − 6) , a3 (0, 5, 0, 5) , a4 (3, 0, 6, 9) , a5 (2, 3, 1, 6) .

Решение. Матрица данной системы векторов имеет вид

Так как ранг этой матрицы равен трем, то максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно трем.

Замечание. Можно доказать, что максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т.е. равно рангу этой матрицы.

9.5 Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора

Рассмотрим в линейном пространстве V два базиса:

есть матрица перехода от базиса (9.10) к базису (9.11), то

231

Из теоремы о линейной независимости векторов следует, что матрица перехода от базиса к базису является невырожденной и всякую невырожденную матрицу порядка n можно рассматривать как матрицу перехода от базиса к базису в n -мерном пространстве.

Задача преобразования координат заключается в нахождении зависимости между координатами вектора в разных базисах.

Формулы, связывающие координаты вектора в разных базисах,

называются формулами преобразования координат.

Теорема 9.12 Если x1, x2 , ..., xn - координаты вектора x в базисе

e1, e2 , ..., en , а x1′, x2′ , ..., xn′ - координаты этого же вектора в базисе e1′, e2′ , ..., en′ , то имеет место следующее соотношение:

232

Так как равенства (9.15) и (9.16) есть символическая запись разложения вектора x по базису e1, e2 , ..., en , а для каждого вектора разложение единственно,

233

Прежде всего, в W имеется нулевой элемент θ : если x W , то 0x =θ W . Для любого элемента x W имеется противоположный элемент − x : если x W , то (−1)x = −x W . Легко видеть, что аксиомы I – VIII для элементов множества

W будут выполнены. Отметим, что нулевой элемент θ линейного пространства V образует подпространство данного пространства, которое называют нулевым подпространством. Само линейное пространство V можно рассматривать как подпространство этого пространства. Эти подпространства называют тривиальными, а все другие, если они имеются, - нетривиальными.

Приведем примеры нетривиальных подпространств линейных пространств.

1)Множество V2 всех свободных векторов a(a1 , a2 ), параллельных

некоторой плоскости, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, является подпространством линейного пространства V3 .

2)Множество V1 всех свободных векторов a(a1 ), параллельных некоторой прямой, представляет подпространство линейного пространства V2 .

3)Множество {Pn−1 (x)} всех алгебраических многочленов степени, не

превышающей натурального числа n −1, является подпространством линейного пространства {Pn (x)}.

9.8 Линейная оболочка системы векторов

Пусть в линейном пространстве V над полем Р дана система векторов a1, a2 , ..., ak . Множество всевозможных линейных комбинаций

α1a1 +α2a2 + ... +αk ak

этой системы называют линейной оболочкой системы векторов a1, a2 , ..., ak .

Теорема 9.15 Линейная оболочка L системы векторов a1, a2 , ..., ak

является подпространством в X .

Доказательство. Действительно, если векторы a и b принадлежат L , т.е. имеют представления

a =α1a1 +α2a2 + ... +αk ak , b = β1a1 + β2a2 + ... + βk ak ,

то и векторы a + b и λa имеют такие представления: a + b = (α1 + β1 )a1 + (α2 + β2 )a2 + ... + (αk + βk )ak , λa = (λα1 )a1 + (λα2 )a2 + ... + (λαk )ak .

Следовательно, они принадлежат L, что и требовалось доказать. Линейную оболочку L системы векторов a1, a2 , ..., ak также называют

подпространством, порожденным этой системой векторов, или подпространством, натянутым на эту систему векторов, и обозначают

L = (a1, a2 , ..., an ).

236

Теорема 9.16 Линейное подпространство конечномерного линейного пространства является конечномерным, и размерность подпространства не превышает размерности всего линейного пространства.

Доказательство. Действительно, размерность конечномерного линейного пространства V может быть определена как максимальное количество линейно независимых векторов в этом пространстве. Очевидно, что максимальное количество линейно независимых векторов в любом подмножестве L в V не превышает максимального количества линейно независимых векторов в V . Отсюда следует утверждение теоремы.

Любое конечномерное линейное пространство порождается конечной системой векторов, например, любым своим базисом. Согласно доказанной теореме это верно и для всякого линейного подпространства линейного пространства.

Теорема 9.17 Пусть L - подпространство п-мерного линейного пространства V . Любой базис a1, a2 , ..., ak в L можно дополнить до базиса

a1, a2 , ..., ak , ak +1,..., an всего линейного пространства V , причем линейному

подпространству L принадлежат те и только те векторы, которые в указанном базисе имеют столбцы координат вида

Доказательство. Действительно, любой базис в L, как и вообще любую линейно независимую систему векторов в V можно дополнить до базиса линейного пространства V . Если вектор х имеет столбец координат (9.19), то он имеет представление

x = x1′a1 + x2′a2 + ... + xk′ ak + 0 ak +1 + ... + 0 an = x1′a1 + x2′a2 + ... + xk′ ak

и, следовательно, принадлежит L как линейная комбинация векторов, принадлежащих L. Если вектор х принадлежит L, он может быть разложен по базису a1, a2 , ..., ak

x = x1′a1 + x2′a2 + ... + xk′ ak

Это разложение в то же время является разложением вектора x в базисе a1, a2 , ..., an линейного пространства V , дающим столбец координат вида (9.19).

Теорема 9.18 Пусть V – конечномерное линейное пространство и в нем задан базис. Тогда для любого линейного подпространства L в V можно указать такую однородную систему линейных уравнений Ах = 0, что множество координатных столбцов всех векторов L будет совпадать с множеством решений системы Ах = 0.

Доказательство. Пусть e1, e2 , ..., en – заданный базис в V . Выберем в L некоторый базис в a1, a2 , ..., ak и дополним его векторами ak +1, ak +2 , ..., an до

базиса в V . Из предыдущей теоремы вытекает, что множество векторов линейного подпространства L в базисе a1, a2 , ..., an описывается системой

уравнений xk′ +1 =... = xn′ = 0 .

237

Пусть T – матрица перехода от базиса e1, e2 , ..., en к базису a1, a2 , ..., an . Тогда столбец координат xe вектора в базисе a1, a2 , ..., an связан со столбцом координат xe′ этого же вектора в базисе e1, e2 , ..., en равенством xe =Txa . Если столбец координат ха является решением однородной системы Ах = 0, то в силу соотношения xa =T −1xe столбец координат xe , является решением однородной системы AT −1x = 0 . Верно и обратное: если хе есть решение системыAT −1x = 0 , т.е. AT −1xe = 0 , то Axa = 0 , т.е., столбец ха является решением системы Ax = 0 . Из

этих рассуждений вытекает следующее: если некоторое множество в заданном базисе описывается однородной системой линейных уравнений (иными словами, совокупность всех столбцов координат векторов множества совпадает с множеством решений системы), то и в любом другом базисе это множество описывается некоторой системой линейных уравнений.

Так как линейное подпространство L в базисе a1, a2 , ..., an описывается

однородной системой линейных уравнений, то это подпространство в соответствии с только что доказанным и в базисе e1, e2 , ..., en описывается

системой линейных уравнений.

Однородную систему линейных уравнений, описывающую данное линейное подпространство L, называют общими уравнениями этого подпространства.

Например, составим общие уравнения линейного подпространства L = a1, a2 в четырехмерном линейном пространстве V , если векторы a1 и a2

заданы своими координатами в некотором базисе e :

Решение. Нетрудно убедиться в том, что система векторов a1 и a2 линейно

независима и потому составляет базис в линейном подпространстве L. Дополним эту систему до базиса в линейном пространстве V векторами a3 и a4 , в качестве

которых; можно взять пару векторов из базиса e :

238

В базисе a линейное подпространство описывается однородной системой из двух уравнений x3′ = 0 , x4′ = 0 , которая в матричной форме имеет вид: