Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Математические формулы и методы их применения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

284.26 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33


·	tg a ± tgb =	sin (a ± b)		;
·	tg a ± tgb =			;
		cos a ×cos b
·	ctg a ± ctgb =		sin (b ± a)		;
·	ctg a ± ctgb =		sin a ×sin b		;
			sin a ×sin b

·sh a ± sh b = 2sh a ±2 b ch a m2 b ;

·ch a + chb = 2ch a +2 b ch a -2 b ;

·ch a - ch b = 2sh a +x b sh a -2 b .

Произведения тригонометрических функций

·sin a ×sin b = 12 ×(cos (a - b) - cos (a + b )) ;

·cos a ×cosb = 12 ×(cos(a - b)+ cos (a + b )) ;

·sin a ×cosb = 12 ×(sin (a - b )+ sin (a + b )) ;


· tg a × tg b =			tg a + tg b		= -	tg a - tg b	;
· tg a × tg b =			ctg a + ctgb		= -	ctg a - ctgb	;
			ctg a + ctgb			ctg a - ctgb
·	ctg a× ctgb = ctg a + ctg b = - ctga - ctg b							;
			tg a + tg b			tga - tg b
·	ctg a ×tg b = ctg a + tgb				= - ctg a - tg b .
			tg a + ctgb			tg a -ctg b
Формулы понижения степени
·	cos2 a =	1+ cos 2a		;
		2
·	sin2 a =	1- cos 2a		;
		2
· ch2 a = ch2 2a +1				;
		2
· sh2 a = ch2 2a -1 ;
		2
·	cos3 a =	3cos a + cos 3a			;
		4
·	sin3 a =	3sin a - sin3a .
		4				- 12 -
Андрей Ивашов						- 12 -

Математические обозначения

=равно;

¹не равно;

ºтождественно равно;

:эквивалентно (подобно);

»	приближенно равно;
+, -	сложение (плюс, минус);
×, ¸
×, ¸	произведение (умножение, деление);
>	строго больше;
<	строго меньше;
³	нестрого больше;
£	нестрого меньше;
?	много больше;
=	много меньше;
\| \|	модуль (абсолютная величина);
const
const	константа (постоянная величина);

¥бесконечность;

"для всех;

Îпринадлежит;

Ïне принадлежит;

$существует;

Wдостоверно;

Æпустое множество;

Þнеобходимо;

Üдостаточно;

Ûнеобходимо и достаточно;

åсумма (строчная сигма);

∏произведение (строчная пи).

Андрей Ивашов

- 49 -

Соотношение функций углов треугольника

·sin a +sinb + sin c = 4cos a2 ×cos b2 ×cos c2 ;

·sin a + sinb - sin c = 4sin a2 ×sin b2 × cos 2c ;

·cos a + cosb + cos c = 4sin a2 ×sin b2 ×sin 2c +1 ;

·cos a + cosb - cos c = 4cos a2 × cos b2 ×sin c2 -1 ;

·sin2 a +sin2 b + sin2 c = 2 cos a ×cosb ×cosc + 2 ;

·sin2 a + sin2 b - sin2 c = 2sin a ×sin b ×cosc ;

·tg a + tgb + tg c = tg a ×tgb × tgc ;

·ctg a + ctg b + ctg c = ctg a ×ctg b× ctgc ;

·ctg a ×ctgb + ctg a ×ctg c + ctgb ×ctg c =1 .

Формулы косоугольных треугольников

·sinAa = sinBb = sinCc = 2r (теорема синусов);

cos a =

B2 + C2 - A2

(теорема косинусов);

2BC

æ a + b ö

A+ B

tgç

è 2

(теорема тангенсов).

A- B

æ a - b ö

tg ç

è 2

Преобразование выражений

ìsinϕ =

;

· asin x + b cos x =

sin (x +ϕ), íï

a2 + b2

a > 0;

ϕ = arctg(b a),

ïϕ = π + arctg (b a), a < 0.

Обратные тригонометрические неравенства

·arcsin x > a; x Î(sin a;1] ( a < π 2 );

· arcsin x < a; x Î[-1;sin a) ( a £ π 2 );

·arccos x > a; x Î[-1; cos a) ( 0 < a < π );

·arccos x < a; x Î(cos a;1] ( 0 < a £ π );

· arctg x > a; x Î(tg a; + ¥) ( a < π 2 );

·arctg x < a; x Î(-¥; tg a) ( a < π 2 );

·arcctg x > a; xÎ(-¥; ctg a) ( 0 < a < π );

· arcctg x < a; x Î(ctg a; + ¥) ( 0 < a < π ).

Андрей Ивашов

- 14 -

Андрей Ивашов

- 47 -

Аналитическая геометрия (R2)

Прямая

·Ax + By + C = 0 (общее уравнение прямой);

·	y = kx + b Þ y = -					A	x - C	(уравнение прямой с угло-
						B B		вым коэффициентом);
·	x - x1	=	y - y1		(уравнение прямой, по двум точкам);

	x2 - x1		y2 - y1
·	ìx = a ×t + x1			(параметрическое уравнение прямой);
	í		+ y1
	îy = b×t

·ìïx = t ×(x2 - x1 )+ x1 (параметрическое уравнение íïîy = t ×( y2 - y1 )+ y1 прямой, по двум точкам);

·y - yA = k (x - xA ) (уравнение пучка прямых);

·ax + by =1 (уравнение прямой, в отрезках на осях);

·x ×cosa + y sin a - p = 0 (нормальное уравнение прямой);


·	A1x + B1 y + C1			= ±	A2x + B2 y + C2	(биссектриса между
		A12 + B12			A22 + B22	двумя прямыми);
	ì	=	λx2 + x1
	ïxA	=	1+ λ
·	ï		1+ λ	(деление отрезка в данном отношении).
·	í		λy2 + y1	(деление отрезка в данном отношении).
	ï	=	λy2 + y1
	ïyA	=	1+ λ
	î		1+ λ

Расстояния

·d = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1)2 (между двумя точками);

· d = ± AxA + ByA + C (от точки до прямой);

A2 + B2

·d = x0 cos a + y0 sin a - p (от точки до прямой);

·	d = ±	C1 -C2					(между параллельными прямыми).
			A2 + B2

Отношения между объектами
·	k1 = k2	,		A1	=	B1	(условия параллельности прямых);
				A2		B2
Андрей Ивашов							- 16 -

z - частное решение неоднородного уравнения:

éD < 0 Þ z = Aemx ;

êae Þk

+ pk + q ¹ 0 êD = 0 Þ z = Ax e ;

ëD > 0 Þ z = Axe

;

f (x)

ép2

+ (q -ω2 )2 ¹ 0Þ z = Acosωx+ Bsinωx;

= ê

êM cosωx+ N sinωx Þ ê

= x(Acosωx + Bsinωx);

Þ z

ëp = 0, q =ω

éq ¹ 0 Þ z = Ax2 + Bx +C;

+bx+ c

êax2

êq = 0, p ¹ 0 Þ z = x(Ax2 + Bx +C).

(

)

( )

(

) ( )

(

) ( )

ìα 0;

y + g

y = f

ìz

+ 1-α g x z = 1-α f x

· í

ïz

= y1−α

îα ¹1.

−α

îy = z

(уравнение Бернулли).

Андрей Ивашов

- 45 -

·x2 - y2 =1 (каноническое уравнение гиперболы); a2 b2

· (x - x0 )		2	(y - y0 )	2	= 1	(уравнение гиперболы со сме-
· (x - x0 )		-	(y - y0 )		= 1

						щённым центром);
	a2		b2			щённым центром);

· y = ± ba x (уравнение асимптот гиперболы);

· ε = ca >1 (эксцентриситет гиперболы – мера сжатия);

· p = b2 (фокальный параметр гиперболы). a

Парабола

·y2 = 2 px (каноническое уравнение параболы);

·	( y − y0 )		2	= 2 p (x		− x0 )	(уравнение параболы со смещён-
							ным центром)
·	x = -	p		(директриса параболы - направляющая);

	2
·	p = b2		(фокальный параметр параболы).
	a
Системы координат
·	ìx = x0 + a;				(перенесение начала координат);
	í		+ b.
	îy = y0
·	ìx = x0 cos a - y0					sin a;	(поворот координатных осей);
	í
	îy = x0 sin a + y0 cosa.

ìx = r cos a;

·ïíy = r sin a; (полярные координаты).

ïîr = x2 + y2 .

Приложения

· SV = ± 12 xb xc

·	SY =	é→	→ù
		êa´ bú
		ë	û

Андрей Ивашов

ya	1	(площадь треугольника по трём
yb	1
		вершинам);
yc	1

(площадь параллелограмма по двум векторам).

- 18 -

Степенные уравнения высших порядков

·y = a0 xn + a1xn−1 +K+ an−1x + an ;

·y = (x − x1 )(b0xn−1 + b1xn−2 + K + bn−2x + bn−1 ) ;

a xn + a xn−1

+K+ a

x + a

n 1

n 2

n−1

= b x −

+b x −

+K+ b

x +b

x - x1

n−2

n−1

x - x1

(теорема Безу, где r - остаток, x1

- корень y(x) );

éì+ + Þ - êí- -

· êî êì+ -

êêëíî- + Þ +

(правило Декарта – чередование знаков коэффициентов степенного уравнения, оп- ределяет знаки вещественных корней дан- ного уравнения, не применимо в случае ком- плексных корней);

	ìc + c + c +K+ c						+ c = -a ;
	ï	1		2	3	n−1	n	1
	ïc c		2	+ c c +K+ c c +K+ c c = a						;
	ï	1	2		1 3	2 3	n−1 n 2
·	íc c c + c c c +K+ c c c = -a								;
	ï	1	2 3		1 2 4		n−2 n−1 n	2
	ïK					c c = (-1)n a
	ïc c c ×K×c					c c = (-1)n a		.
	î	1	2	3		n−2 n−1 n	n

(теорема Виета для нахождения веще-

ственных корней степенных функций высших порядков).

Тригонометрические уравнения


·	sin x = a;	x = (−1)n arcsin a + π n,		n Z;		− π 2 ≤ arcsin a ≤ π 2 ;
·	cos x = a;	x = ±arccos a + 2π n,		n ÎZ;		0 £ arccos a £ π ;
·	tg x = a;	x = arctg a + πn,	nÎ Z;		-π 2 < arctg a < π 2 ;
·	ctg x = a;	x = arcctg a + πn,	nÎ Z;		0 < arcctg a < π ;

·sh x = a; x = Arsh a ;

·ch x = a; x = Arch a ;

·th x = a; x = Arth a ;

·cth x = a; x = Arcth a .

Частные случаи тригонометрических уравнений

·sin x = 0; x = πn, n ÎZ ;

·sin x =1; x = π2 + 2πn, n ÎZ ;

·sin x = -1; x = - π2 + 2π n, nÎZ ;

Андрей Ивашов

- 43 -

Вектор

·AB{xa - xb; ya - yb; za - zb} (по двум точкам);→

·	→ →	æ	→ → ö	→ →
·	a× b	= ç a,b ÷		=\| a \| ×\| b \| ×cos(α ) (скалярное произведение);
		è	ø

	→ →	= (xa + ya	+ za )×(xb + yb	+ zb ) = xa xb + ya yb + za zb
·	a× b				(скаляр-

ное произведение);

→ → → →

·a´ b = [a,b] =|| a | ×| b | ×sin (α )| (векторное произведение);→ →

		→	→	→
	→ →	i	j	k
	→ →	xa	ya	za
·	a´ b =	xa	ya	za		(векторное произведение);
		xb	yb	zb
·	→ → →		→æ →	→ö		æ→	→ö →	(смешанное произведение
	→ → →		→æ →	→ö		æ→	→ö →	(смешанное произведение
	a b c	= a ç b´ c ÷			= ç a´ b ÷ c			векторов);
			è	ø	è		ø	векторов);

	→ → →		xa	ya	za
	→ → →		xb	yb	zb
·	a b c	=	xb	yb	zb	(смешанное произведение векторов);
			xc	yc	zc

·	→	æ	→ → ö			=
·	a´ç b´ c ÷					=
		è			ø
·	æ →		→	ö	→	=
·	ç a´ b			÷	´ c	=
	è			ø

→æ → →ö		→æ	→→ ö
b ç a c ÷ - c ç a b ÷
è	ø	è	ø
→ æ	→ → ö	→æ	→ →ö
b ç a c ÷		- aç b c ÷
è	ø	è	ø

(двойное векторное про- изведение);

→

(xb - xa )2 + (yb - ya )2 + (zb - za )2 (длина вектора);

| AB |=

→

(xa )2 +

( ya )2 + (za )2 (модуль вектора).

| a |=

Отношения между объектами

→

sin(α ) =

(угол между прямой и плоскостью);

→

| N |

| S |

→

cos (α ) =

(N1× N2 )

(угол между плоскостями);

→

| N1

×| N2

x	ì-¥ < x < +¥;
· F(x) = P(-¥ < X < x) = ò ϕ (t )dt,	ï
· F(x) = P(-¥ < X < x) = ò ϕ (t )dt,	ïíϕ (x) - плотность.
−∞	î

(функция распределения непрерывной величины);

+∞

·M ( X ) = ò xϕ (x)dx (математическое ожидание);

−∞

+∞

· D (X ) = ò (x - M (X ))2 ϕ (x)dx (дисперсия).

−∞

Андрей Ивашов

- 20 -

Андрей Ивашов

- 41 -

Матрицы

Операции над матрицами

çæ a11

a12

L a1n ÷ö

çæ b11

b12

L b1n ÷ö

· Amn ± Bmn = Cmn =

ç a21

a22

L a2n ÷

ç b21

b22

L b2n ÷

M O M

ç M

÷ ç

M O M ÷

am2

bm2 L

è am1

L amn ø èbm1

bmn ø

çæ a11 ± b11

a12 ± b12

L a1n ± b1n ÷ö

ç a21 ± b21

a22 ± b22

L a2n ±b2n ÷

;

± bm1

am2

± bm2

è am1

L amn ± bmn ø

çæ a11

a12

L a1n ÷ö

çæ b11

b12

L b1l ÷ö

Amn × Bnl = Cml

ç a21

a22

L a2n ÷

çb21

b22

L b2l ÷

M O M

M O M ÷ ç

am2 L

bn2

è am1

amn ø èbn1

bnl ø

çæ a11b11 +a12b21 +L+a1nbn1

a11b12 +a12b22 +L+a1nbn2

L a11b1l +a12b2l +L+a1nbnl ÷ö

ç a21b11 +a22b21 +L+a2nbn1

a21b12

+a22b22 +L+a2nbn2 L a21b1l +a22b2l +L+a2nbnl ÷

;

èam1b11 +am2b21 +L+amnbn1 am1b12

+am2b22 +L+amnbn2 L am1b1l +am2b2l +L+amnbnl ø

æ λ × a11

λ × a12

L λ ×a1n

λ × Amn

= ç

λ ×a21

λ ×a22

L λ ×a2n ÷ .

λ ×am1

λ × am2

L λ × amn ø

Свойстваопределителей

·det ( A) = a11 = a11 (определитель первого порядка);

·	det (A) =		a11	a12	= a11a22 - a12a21		(определитель второ-
			a21	a22			го порядка)
·	det(A)=	a11		a12	a13
		a11		a12	a13
		a21		a22	a23	=
		a31		a32	a33

=(a11a22a33 +a12a23a31 + a13a21a32 )-(a13a22a31 + a12a21a33 +a11a23a32 )

(определитель третьего порядка);

Андрей Ивашов

- 22 -

· ln (1+ x) = x -

+K+ (-1)n−1 ×

+K, -1< x £1 ;

· ex =1+ x +

+ x3

+K+

+K,

< +¥ ;

x2n−1

sin x = x -

+K+ (-1)n−1 ×

+K,

< +¥ ;

(2n -1)!

cos x = 1-

+K+ (-1)n ×

x2n

+K,

< +¥ ;

(2n)!

arcsin x = x +

+ 1

3 × x5

1 ×

3 ×

+K,

< 1 ;

arctg x = x - x3

+ x5

- x7

+K+ (-1)n−1 ×

x2n−1

+K,

£1 ;

2n -1

arsh x = x -

1 ×

3 ×

× 3

±K,

< 1 ;

arth x = x + x3

+ x5

<1 ;

· sh x = x + x3

+K,

< +¥ ;

· ch x = 1+

+K,

< +¥ ;

m m-1 K m-

n-1

· (1+x)

=1+mx+

m(m 1)

x2 +K+

(

)

(

))

xn +K,

<1.

Приложения

∞

n+1

(приближенное вычис-

ò f (x)dx =

òåcn xndx

= åcn

n +1

ление интегралов).

a n=a

n=a

Андрей Ивашов

- 39 -

Производные функций

Определение производной

· u¢(x) = lim Du = lim u (x + Dx)- u(x) .

x→0 Dx x→0 Dx

Таблицапроизводных

·(uс )¢ = с ×uс−1 ×u¢ ;

·(c)¢ = 0 ;

·(cu )¢ = cu ×ln c×u¢ ;

·(eu )¢ = eu ×u¢ ;

·(logc u)¢ = u ×1ln c ×u¢ ;

·(ln u)¢ = 1u ×u¢ ;

·(sin u)¢ = cosu ×u¢ ;

·(cosu)¢ = -sin u ×u¢ ;

·(tg u)¢ = cos12 u ×u¢ = sec2 u ×u¢ ;

·(ctgu)¢ = - sin12 u ×u¢ = -cosec2 u ×u¢ ;

·(sec u)¢ = secu × tg u ×u¢ ;

·(cosecu)¢ = - cosecu ×ctg u ×u¢ ;

·	(arcsin u)¢ =	1	×u¢ ;
	1	- u2
	¢	1		¢
·	(arccosu) = -			×u	;
		1- u2

·(arctgu)¢ = 1+1u2 ×u¢ ;

·(arcctgu)¢ = -1+1u2 ×u¢ ;

Андрей Ивашов

- 24 -

Значения функций комплексных аргументов

( z = a + bi = z (cosϕ + i ×sinϕ) )

·ln (z ) = ln z + i × arg (z) ;

sin z = eiz - e−iz

;

sh z = ez

- e− z

;

cos z =

eiz + e−iz

;

ch z =

+ e− z

;

eiz - e−iz

sin z

ez - e− z

sh z

tg z =

= cos z

;

th z = ez

+ e− z

= ch z

;

i ×(eiz

+ e−iz )

ctg z =

i ×(eiz + e−iz )

cos z

;

cth z =

+ e−z

ch z

;

- e

−z

sh z

eiz

- e−iz

sin z

sec z =

;

sec z =

;

eiz + e−iz

cos z

+ e−z

ch z

cosec z =

;

cosech z =

;

- e

−iz

sin z

− z

sh z

- e

arcsin z = -i ×ln(i × z +

)= -i ×arsh(i × z) ;

1- z2

arccos z = -i × ln (z + i ×

)= -i ×arch z ;

1- z2

· arctg z = - i × ln 1+ i × z = -i ×arth (i × z) ; 2 1-i × z

· arcctg z = 2i × ln ii ×× zz +-11 = i ×arcth (i × z) ;

·arsh z = ln (z + z2 +1)= -i ×arcsin (i × z) ;

·arch z = ln (z + z2 -1)= i ×arccos z ;

·arth z = 12 ×ln 11+- zz = -i ×arctg(i × z) ;

·arcth z = 12 × ln 11+- zz = i ×arcctg (i × z) .

Андрей Ивашов

- 37 -

Параметрические функции

·ìïx = x(t ) , y¢(x) = y¢(t) .

íïîy = y (t ) x¢(t )

Приложения

( y - y0 ) = y¢(x0 )×(x - x0 ) (уравнение касательной);

( y - y0 ) = -

×(x - x0 )

(уравнение нормали);

y¢(x0 )

é f ¢(x) > 0 Þ

функция возрастает;

(признаки

возрас-

тания

убывания

êê f ¢(x) < 0 Þ

функция убывает.

функции);

é f ¢¢(x) > 0 Þ

вогнутость функции;

(признаки

вогнуто-

сти и

выпуклости

êê f ¢¢(x)< 0 Þ

выпуклость функции.

функции);

ïì f ¢ (x) = 0;

íï f ¢ (x - Dx) < 0; Þ min f (x); íï f ¢ (x - Dx) > 0; Þ max f (x) ;

+ Dx) > 0.

ï f ¢ (x

ï f ¢ (x + Dx) < 0.

ìf ¢

(

)

= 0;

ìf ¢

(

)

= 0;

(экстремумы

ïíf ¢¢(x) > 0.Þmin f (x); ïíf ¢¢(x) < 0.Þ max f (x)

функции);

ì f ¢¢(x) = 0;

íï f ¢¢(x - Dx) < 0;

íï f ¢¢(x - Dx) > 0; (точки перегиба);

îï f ¢¢(x + Dx) > 0. îï f ¢¢(x + Dx) < 0.

k =

y¢¢

(кривизна функции);

(1+ (y¢)2 )2

f (x) = f (a + Dx) » f (a)+ f ¢(a)Dx,

Dx = x - a

(приближен-

ное вычисление значения функции в данной точке).

·S = 1 βòρ2 (ϕ)dϕ (площадь криволинейного сектора);

2 α

·S = 2π òb ux 1+ (u¢x )2 dx (площадь поверхности вращения);

l = ò

(длина дуги кривой);

1+ (ux )

(длина дуги кривой, заданной па-

l = ò

(xt¢)

+ ( yt¢)

раметрически);

l = ò

(

ρϕ¢ )

dϕ

(длина дуги кривой в полярных

ρϕ +

координатах);

V = òb S (x)dx,

S (x) - поперечное сечение (объём тела);

(x) -u2 (x))dx - вокруг оси OX ;

êVx = π ò(v2

(объём

a < b

тела вра-

(y)

(y))dy - вокруг оси OY.

щения);

- u

êVy = π ò(v

A = òb F (x)dx (работа переменной силы).

Андрей Ивашов

- 26 -

Андрей Ивашов

- 35 -

Эквивалентность бесконечно-малых

sin x : x,

x ® 0 ;

tg x : x,

x ® 0 ;

· ln (1+ x) : x, x ® 0 ;

· ex -1: x, x ® 0 ;

arcsin x : x,

x ® 0 ;

arctg x : x,

x ® 0 ;

ax -1

: x Þ (ax -1) : x ×ln a, x ® 0 ;

ln a

(1+ x)m -1

: x Þ ((1+ x)m -1): x ×m, x ® 0 .

Сравнение бесконечно-малых

é1

Þ α (x) и β (x) эквивалентны;

( x)

α (x) и β (x) одного порядка малости;

lim

êconst ¹ 0

x®x0

(x)

ê0

Þ α (x) более высокого порядка, чем β (x);

β (x) более высокого порядка, чем α (x).

ë¥

Способы раскрытия неопределенностей

lim(u - v) = [¥ - ¥]= lim

(1 v)-

(1 u)

é0

;

1 (u × v)

x®x0

ë0

é 0 /0

]

· lim(u ×v) = [0× ¥]

= lim

= ê[

;

1 u

x®x0

®x0 1 v

x®x0

ê[¥ / ¥]

éé

ë0

= exp lim (v ×lnu) = [0 ×¥];

limu

ë¥

û = lim e

êé

0 ù

v×lnu

x®x0

êé1¥ ù

ëë

a0xm + a1xm-1 +K+ am

ém > n Þ ¥;

(Золотая

lim

= êm = n Þ a

b ;

теорема - об

x®¥

b0 xn + b1xn-1 +K+ bn

отношении

многочленов);

ëm < n Þ 0.

é[0 /0]

u¢

lim

= ê

= lim

(правило Лопиталя).

x®x0

ê[¥ / ¥]

x®x0 ¢

Андрей Ивашов

- 28 -

òb u (x)dx = (b - a)u(c), a < c < b (теорема о среднем);

m(b - a) £ òb u(x)dx £ M (b - a),

m = minu (x); M = max u(x) ;

b u

(x)dx » hæ

+ y + y +K+ y -

(формула трапеций);

n 1

2 ø

hæ

æa+bö

(формула

òu(x)dx=

(b-a)

ç y(a) +4yç

÷+ y(b)÷, h =

Симпсона);

(x)dx = blim®+¥

òu

òu (x)dx (несобственный интеграл).

Подстановки Эйлера

ìì

- c

ïïx =

;

at + b

ïï

t2 - c

+ bx + c = t - a

ïí

;

ïï

a ×t + b

t =

+ bx + c + ax, a > 0

;

íï

+ bt - c

ïï

+ bx + c =

;

ïï

ïî

a ×t + b

ïdx = 2

bt + c

dt.

at + b)

ìì

ct -2 b ;

ïïx = 2

a - t

ïí

сt2

ax2 + bx + c - c

ïï

- bt + сa

t =

, c > 0

+ bx + c =

;

íï

a - t

ïî

t2 - bt + a

dt.

(a - t2 )2

îïdx = 2

ìì

-ax2 + x1t2

ïïx =

;

- a

ïí

a(x

- x

x - x

, (x

¹ x )ÎR .

íï

+ bx + c =

;

x - x1

ïî

- a

2a(x2 - x1)t

dt.

ïdx =

- a)

Андрей Ивашов

- 33 -

Дифференциальное исчисление

Основные понятия

·df ( x) = f ¢(x) dx (дифференциал функции);

·dn f (x) = f (n) (x)dxn (дифференциал высшего порядка);

du =

¶u dx +

¶u dy +

¶u dz,

u = f (x, y, z)

(полный

диффе-

¶x

¶y

¶z

ренциал);

Du »

¶u

Dx +

¶u

Dy + ¶u

Dz (малое приращение);

¶x

¶y

¶z

¶u =

¶u cosα +

¶u cos β +

¶u cosγ

(производная функции по

¶l

¶x

¶y

¶z

направлению);

gradu =

¶u r

ì¶u

¶u

¶u ü

(градиент

ска-

¶x

i +

¶y

j +

¶z

= í

¶y

лярного поля);

î¶x

¶z þ

grad u

æ ¶u ö2

æ ¶u

ö2

= ç

+ ç

÷ .

è ¶x ø

è ¶y ø

è ¶z

Андрей Ивашов

- 30 -

					Интегралы
Таблицаинтегралов
· òxrdx =	xr+1			+ C, r ¹ -1 ;

	r +1
· ò 1 dx = ln		x	+ C ;

x	rx
· òrxdx =					+ C, 0 < r ¹1 ;
	ln(r)

·òexdx = ex + C ;

·òln (x)dx = x ×ln (x)- x + C ;

·òsin (x)dx = - cos (x)+ C ;

·òcos(x)dx = sin (x)+ C ;

·òtg (x)dx = - ln cos x + C ;

·òctg (x)dx = ln sin x + C ;

dx =

cosec( x)dx = ln

æ x

+ C ;

tg ç

ò sin ( x)

è 2

dx =

sec (x )dx = ln

π ö

+ C

;

tg ç

ò cos (x )

dx =

ò cosec

(x )dx = - ctg (x ) + C ;

sin

( x )

dx =

òsec

(x)dx = tg(x) + C ;

cos

(x)

dx =

æ x ö

+ C, r ¹ 0

arctg ç

;

ò x2

+ r2

è r ø

· ò

dx =

x - r

+ C, r ¹ 0 ;

- r

x + r

· ò

dx = ln

x + x2 ± r2

+ C ;

± r

æ x

dx = arcsin

÷ + C,

r ¹ 0 ;

ò r2 - x2

è r

Андрей Ивашов

- 31 -

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

#
02.05.2014559.1 Кб20Линейная алгебра.doc
#
02.05.2014284.26 Кб37Математические формулы и методы их применения.pdf
#
02.05.2014204.22 Кб33Матрицы.pdf