Математические формулы и методы их применения
.pdf
Теория вероятности
Основные правила
·P (A) = mn (классический смысл вероятности);
·P(A)=1-P(A) (вероятность противоположного события);
·P(A+B) =P(A)+P(B)-P(AB) (теорема сложения событий);
éP(A)P(B| A) - зависимыесобытия; |
(теорема |
ум- |
|
ножения |
веро- |
||
· P(AB) = êêP(A)P(B) -независимыесобытия; |
|||
ятностей); |
|||
ë |
|
|
|
n
·P (A) = åP (Hi )P(A | Hi ) (полная вероятность);
|
|
|
i=1 |
P(Hi ) P(A| Hi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
· |
P (Hi | A) = |
|
|
|
|
(формула Бейеса); |
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
(H j ) P(A| H j ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
åP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìP(A) = p; |
|
|
|
|
|
|
(биноминальный |
||||||||||||
· |
Pn (m) = Cnm pmqn−m, |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
закон |
распределе- |
||||||||||||
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïP(A) = q = 1- p. |
|
ния - Бернулли); |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì0 £ p £1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
t2 |
|
ï |
|
=1 |
- p; |
|
|
|
|
(локальная |
формула |
|||||||||
· Pn (m) » |
|
|
|
|
e |
2 , |
ïq |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лапласа); |
|
|||||||||||
|
2πnpq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ït = m - np . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
1 |
x |
t2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïF |
(x) = |
|
òe− |
2 dt; |
||||
· P (m1 £ m £ m2 ) » F(tm2 |
)- F(tm1 ), |
|
ï |
|
|
|
2π |
0 |
(ин- |
||||||||||||||||||||||
|
í |
|
- np |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ït = m |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
npq |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
||||
|
тегральная формула Лапласа); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
· |
Pn (m) » |
μm |
e−μ , |
|
|
ìμ = np; |
|
(формула Пуассона); |
|
||||||||||||||||||||||
m! |
|
|
í |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
î p ® 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
(x−x0 )2 |
ìx = M |
( |
x |
) |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
· |
ϕ (x) = |
|
|
×e |
|
2σ |
2 |
ï |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(плотность вероятно- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
σ × |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
ïσ = |
|
|
D (x). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти для нормального закона распределения); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Андрей Ивашов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 40 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
→ |
→ |
|
|
· |
cos(α ) = |
(S1× S2 ) |
|
(угол между прямыми); |
|
→ |
→ |
|
|||
|
|
| S1 |
|×| S2 |
| |
|
→ →
·N× S = 0 (параллельность прямой и плоскости);
· |
AB1 2 |
- A2B1 = BC1 2 - B2C1 = AC1 2 - A2C1 |
= 0 |
(параллельность |
|
плоскостей); |
|||||
|
|
|
|
||
· |
mn1 2 |
- m2n1 = n1p2 -n2 p1 = m1p2 - m2 p1 |
= 0 |
(параллельность |
|
прямых); |
|||||
|
|
|
|
·mA = Bn = Cp (ортогональность прямой и плоскости);
·A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 (ортогональность плоскостей);
·m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0 (ортогональность прямых).
Приложения
→→ →
·Vпар. = a b c (объём параллелограмма);
1→ → →
·Vпир = 6 a b c (объём пирамиды).
Андрей Ивашов |
- 21 - |
Определения |
|
|
|
Ряды |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
· |
åun = lim |
åun (основное определение); |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
N →∞ |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
· |
å(un + ivn ) = åun + i ×åvn |
|
|
(ряд в комплексной области); |
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
· |
S = lim Sn , |
|
|
|
Sn = U1 + U2 + U3 + K +U n |
(сумма ряда); |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
ì |
+ a1x + a2 x |
2 |
+K; |
(радиус сходимости по |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
· |
R = lim |
|
|
|
, |
ïa0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле Даламбера); |
|||||||||||
|
a |
|
¹ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
ïa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
î n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ì |
+ a x + a |
x |
2 |
|
+K; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïa |
|
|
(радиус сходимости по |
|||||||||||||||
· |
R = |
|
|
|
|
|
|
, |
í 0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
lim n |
an |
|
îïan |
¹ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле Коши). |
|
|||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение в степенные ряды |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
· |
f (x) = f (0)+ f ¢(0)x + |
|
f ¢¢(0) |
x2 +K+ |
f (n) (0) |
xn +K |
(ряд |
|||||||||||||||||||||
|
Маклорена); |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¢¢(a) (x- a)2 +K+ |
f ( ) (a)(x -a)n +K |
|||||||||||||||||||||
· f (x) = f (a) + f ¢(a)(x -a) + f |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
n! |
|
|
||
|
(ряд Тейлора). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Признаки сходимости рядов |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Un+1 |
|
|
él <1 - сходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
· |
lim |
|
= êl >1 - расходится; |
|
(признак Даламбера); |
|
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ Un |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ël =1 - не применим. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
él <1 - сходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
· |
lim n |
|
|
= êl > 1 - расходится; |
|
(признак Коши); |
|
|||||||||||||||||||||
vn |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
êl = 1 - не применим. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
· |
При v1 ³ v2 |
³ v3 ³ K³ 0 , limvn = 0 Þ v1 - v2 + v3 - v4 +K сходится |
||||||||||||||||||||||||||
|
(признак Лейбница); |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
· |
∞ |
|
|
|
éÎR - сходится; |
|
|
|
|
|
∞ |
|
(интегральный |
|||||||||||||||
òU (x)dx = |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для åUn |
признак Коши). |
||||||||||||||
|
a |
|
|
|
ë±¥ - расходится. |
|
a |
|
||||||||||||||||||||
Таблица разложенных в степенные ряды функций
· |
|
|
1 |
=1+ x + x2 |
+K+ xn +K, |
|
x |
|
< 1 ; |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
- x |
|||||||||
|
|
- 38 - |
|
|
||||||
Андрей Ивашов |
|
|
||||||||
|
a11 |
a12 |
L a1m |
|
|
||||
· D = |
a21 |
a22 |
L a2m |
|
|
M |
M |
O |
M |
|
am1 |
am2 |
L |
amm |
m
= S aij Aij = ai1Ai1 + ai 2 Ai2 +K+ aim Aim j=1
(разложение определителя по i -той строке).
Операции над определителями
·det(A×B)= det(A)×det(B) ;
|
a11 |
a12 |
L a1m |
|
λa11 |
a12 |
L a1m |
|
λa11 |
λa12 |
|
|
|
||||||||
· λ |
a21 |
a22 |
L a2m |
= |
λa21 |
a22 |
L a2m |
= |
a21 |
a22 |
|
M |
M |
O M |
|
M |
M |
O M |
|
M |
M |
|
am1 |
am2 L amm |
|
λam1 am2 L amm |
|
am1 |
am2 |
|||
Обратная матрица
Lλa1m
La2m .
O M
Lamm
|
1 |
~ |
|
· |
A−1 = det (A) AT , det (A) ¹ 0 |
(теорема Лапласа); |
|
·A× A−1 = A−1 × A = E (метод Гаусса).
Андрей Ивашов |
- 23 - |
Комплексные числа
Определения
·i2 = -1 (где i - мнимая единица);
· |
ìa = Rez -действительнаячасть; |
(алгебраическая |
|
z =a+bi, í |
|
форма комплекс- |
|
|
îb =Imz |
- мнимаячасть. |
ного числа); |
· |
ϕ = arg z = arctg b |
, 0 £ arg z £ 2π , z ¹ 0 |
(аргумент ком- |
|
a |
|
плексного числа); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
z |
= a2 + b2 |
(модуль комплексного числа). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïcosϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
(тригономет- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
+ b |
2 |
|
|
|
||||||
· |
z = |
|
z |
|
(cosϕ + i ×sinϕ), íï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рическая форма |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
комплексного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïsinϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
числа); |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
+ b |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
ϕ |
ön |
|
|
∞ |
(iϕ)n |
(формула |
||||||
· |
eiϕ = cosϕ + isinϕ = limç1 |
+ i |
|
÷ |
= å |
|
|
|
|
|
|
Эйлера); |
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
n! |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ è |
|
ø |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
||||
· |
z = |
|
z |
|
×eiϕ (показательная форма комплексного числа); |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Основные свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
çæ z1 = a + bi = |
|
z1 |
|
|
(cosϕ1 + i ×sinϕ1 ); ÷ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ç |
= c + di = |
z2 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
è z2 |
(cosϕ2 + i ×sinϕ2 )ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
·z1 ± z2 = (a ± c) + (b ± d )i ;
·z1 × z2 = (ac - bd )+ (ad + bc)i ;
· |
z1 |
|
= ac + bd + bc - ad i, z |
2 |
¹ 0 ; |
|
|
|||||||||||||||||||
z2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c2 + d2 |
|
c2 + d 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
· |
z1 × z2 |
= |
|
|
|
z1 |
|
× |
|
z2 |
|
×(cos(ϕ1 + ϕ2 ) + isin (ϕ1 + ϕ2 )) ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
· |
z1 |
|
= |
|
|
z1 |
|
|
×(cos (ϕ1 -ϕ2 )+ i sin(ϕ1 -ϕ2 )), |
z2 ¹ 0 ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z2 |
z2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
· |
z1n |
= |
|
z1 |
|
n ×(cos(nϕ1 )+ i sin (nϕ1 )), |
z1 ¹ 0 |
(формула Муавра); |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
· |
|
|
|
= n |
|
|
|
|
|
|
æcosæ ϕ1 |
+ 2πmö + i sin æϕ1 + 2πm öö, m = 0,1,2,...,(n -1) ; |
||||||||||||||
n |
z |
|
|
|
|
|
z |
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
ç |
|
|
ç |
n |
÷ |
|
ç |
n |
÷÷ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
è |
ø |
|
è |
øø |
|||||
Андрей Ивашов |
|
|
|
|
|
- 36 - |
|
|
||||||||||||||||||
|
¢ |
|
1 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
· |
(arcsecu) = u × |
u |
2 -1 |
×u |
; |
|
|
|||
|
|
|
||||||||
|
¢ |
|
|
1 |
|
|
|
¢ |
|
|
· |
(arccosecu) = - u |
× u2 -1 |
×u |
; |
||||||
|
||||||||||
·(sh u)¢ = ch u ×u¢ ;
·(ch u)¢ = sh u ×u¢ ;
·(th u)¢ = ch12 u ×u¢ ;
·(cth u)¢ = - sh12 u ×u¢ .
Правила дифференцирования
·(c ×u)¢ = c ×u¢ ;
·(u ± v ±... ± z)¢ = u¢ ± v¢ ±... ± z¢ ;
· (u ×v ×...× z)¢ = u¢ × v ×...× z + u × v¢ ×...× z + ...+ u × v×...× z¢ ;
· |
æ u ö¢ |
|
u¢ ×v -u × v¢ |
|
|
|
|
|
|||||
ç ÷ = |
|
|
v |
2 |
; |
|
|
|
|
||||
|
è v ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
· |
(u(v(x)))¢ = u¢ (v(x))×v¢ (x) ; |
|
|
||||||||||
· u¢ (x) = u¢ (v)× v¢ (x), |
v = ϕ (x) ; |
|
|
||||||||||
· |
u¢ (v) = |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
v¢ (u) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
· |
u(n) (x) = u(n−1) (x)' |
(производные высших порядков); |
|||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
n(n -1) |
n 2 |
|
|
· |
(uv)( |
) = u( |
)v |
+ nu( − )v¢ + |
|
u( − |
)v¢¢ +... |
||||||
2! |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
...+ n(n -1)...(n -k +1) u(n−k )v(k) +...+uv(n) (формула Лейбница). k!
Логарифмическая производная
·u¢(x) = u(x)×(ln u (x) )¢ .
Андрей Ивашов |
- 25 - |
Универсальная тригонометрическая подстановка
|
ìì |
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|||
|
ïïsin x |
= |
|
|
; |
|
|
||||||||
|
1+ t2 |
|
|
||||||||||||
|
ïï |
|
|
|
|
|
1- t2 |
|
|
|
|||||
|
ïï |
|
|
= |
|
|
|
||||||||
|
ï |
cos x |
1+ t |
2 ; |
|
|
|||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ïí |
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
x |
|
|||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
· |
íïtg x = |
|
|
|
|
|
; |
t = tg |
|
. |
|||||
1-t2 |
2 |
||||||||||||||
|
ïï |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ïï |
|
|
|
|
|
1- t |
2 |
; |
|
|
||||
|
ïïctg x = |
|
|
|
|||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
ïî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ï |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ïdx = |
|
|
|
|
|
dt. |
|
|
|
|||||
|
1 |
+ t |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Метод неопределённых коэффициентов |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
· |
|
a0 xm + a1xm-1 +K+ am-1x + am |
º |
A1 |
|
|
+ |
|
A2 |
|
+K+ |
|
An |
|
(в |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x - x1 )(x - x2 )K(x - xn ) |
x - x1 |
x - x2 |
|
x - xn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
случае простых вещественных корней знаменателя); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
· |
|
a0 xm + a1xm-1 +K+ am-1x + am º |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(x - x1 )n1 (x - x2 )n2 K(x - xs )ns |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
A11 |
|
+ |
A12 |
|
+K+ |
|
A1n |
|
|
|
+K |
|
As1 |
+ |
|
As2 |
|
|
+K+ |
|
Asn |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x - x1) |
2 |
(x |
- x1) |
n |
x |
|
- xs |
( x |
- xs ) |
2 |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x - x1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - xs ) s |
|||||||||||||||||||||
|
(в случае кратных вещественных корней знаменателя); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
· |
|
|
|
|
|
a0xm + a1xm-1 +K+ am-1x + am |
|
|
|
º |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(x2 + p1x + q1 )(x2 + p2 x + q2 )K(x2 + ps x + qs ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
º |
|
A1x + B1 |
|
+ |
|
|
A2x + B2 |
|
|
+K+ |
|
|
As x + Bs |
|
|
|
|
|
(в |
|
случае |
|||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
+ p1x + q1 |
|
|
x2 |
+ p2 x + q2 |
|
|
|
x2 + ps x + qs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
простых комплексных корней знаменателя); |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
· |
|
|
|
|
|
a0xm + a1xm-1 +K+ am-1x + am |
|
|
|
|
|
|
|
|
º |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(x2 + p1x + q1 )n1 (x2 + p2 x + q2 )n2 K(x2 + ps x + qs )ns |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A11x +B11 |
|
|
|
|
A1nx+B1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
As1x+Bs1 |
|
|
|
|
Asnx+Bsn |
||||||||||||||||||
|
º |
|
+K+ |
|
+K+ |
|
+K+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + p1x+q1 |
(x2 + p1x+q1)n1 |
x2 + psx+qs |
(x2 + psx+qs )ns |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(в случае кратных комплексных корней знаменателя).
Приложения
· S = òb (v(x)- u (x))dx (площадь криволинейной трапеции);
a
Пределы
Свойствапределов
·lim (u ± v) = lim u ± lim v ;
x→ x0 x→ x0 x→ x0
·lim (u ×v) = lim u × lim v ;
x→ x0 x→ x0 x→ x0
· lim u |
|
limu |
|
|
|
= |
x®x0 |
, |
lim v ¹ 0 ; |
||
lim v |
|||||
x®x0 v |
|
|
x®x0 |
||
|
|
x®x0 |
|
|
·lim C = C ;
x→ x0
·lim (C ×u ) = C × lim u ;
x→ x0 x→ x0
· |
lim(u)C = (limu)C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x®x0 |
|
|
|
|
x |
®x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечательные (классические) пределы |
||||||||||||||||||||||||
· |
lim |
ln(1+ x) |
= 1 |
Þ |
lim |
loga (1+ x) |
= |
1 |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|||||||||||||||||
|
x®0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
· |
lim sin x = 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x®0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
· |
lim |
tg x |
=1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x®0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
· |
lim |
ax -1 |
= ln a |
Þ |
lim |
ex -1 |
=1 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x®0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
· |
lim |
(1+ x)a -1 |
= a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
· |
limæ1+ a ö |
x |
|
|
|
|
Þ |
limæ1+ |
1 ö |
a×x |
|
|
Þ lim(1+ x)x = ea ; |
|||||||||||
|
= ea |
= ea |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
x®0 |
|||||
|
x®¥ è |
|
x ø |
|
|
|
|
|
|
|
x®0 è |
|
x ø |
|
|
|
|
|||||||
|
|
æ |
2 ×4 ×6×...×(2x) |
ö2 |
1 |
|
π ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
· |
lim |
ç |
÷ × |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x®¥ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
è |
1×3×5×...×(2x -1) ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
2π ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x®¥ |
xx ×e- x × |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
· |
lim ax = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x®¥ |
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Андрей Ивашов |
- 34 - |
Андрей Ивашов |
- 27 - |
· ò |
|
|
dx = |
x |
|
|
|
|
|
± |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 ± r |
2 |
|
|
|
x2 |
± r2 |
ln |
x + x2 ± r2 |
+ C ; |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
æ x ö |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
· |
|
r |
|
- x |
|
dx = |
|
|
|
|
r |
|
- x |
|
+ |
|
arcsinç |
|
|
÷ + C, r ¹ 0 ; |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è r ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
· |
òsh xdx = ch x + C ; |
|
|
|
|
|
· |
òch x dx = sh x + C ; |
||||||||||||||||||||||||
· |
òth xdx = ln |
|
ch x |
|
+ C ; |
|
|
|
· |
òcth x dx = ln |
|
sh x |
|
+ C ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
· |
ò |
1 |
|
dx = -cth x + C ; |
|
|
|
· |
ò |
1 |
|
dx = th x + C . |
||||||||||||||||||||
2 |
x |
|
|
|
2 |
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
|||||
Основные правила
·ò(u (x) ± v(x))dx = òu (x)dx ± òv(x)dx ;
·òr ×u (x)dx = r × òu (x)dx ;
·(òu (x) dx)¢ = u(x) ;
·òuu¢((xx)) dx = ln u(x) + C ;
· |
òu(x)dx = òu (ϕ (t))ϕ¢(t)dt (замена переменной); |
|||||||
· |
ò(u ×v¢)dx = u × v - ò(u¢×v)dx |
Þ |
òudv = u ×v - òvdu (интег- |
|||||
|
рирование по частям); |
|
|
|
|
|||
|
b |
|
b |
b |
|
b |
b |
b |
· |
¢ |
|
|
Þ |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
ò(u ×v )dx = (u ×v) |
|
a |
- ò(u¢×v) dx |
òudv = (u×v) |
a |
-òvdu |
||
|
a |
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
(интегрирование по частям определённого интеграла); |
· |
òa u (x)dx = 0 ; |
|
a |
· |
òb u (x)dx = -òa u (x)dx ; |
a b
·òb u (x)dx = U (x)ba =U (b)-U (a) (Ньютона-Лейбница);
a
· òb u (x)dx = òc u(x)dx + òb u (x)dx, a < c < b ;
a a c
Андрей Ивашов |
- 32 - |
Исследование графика функции
1.Область определения функции (ООФ). Симметрия графика функции (чётность, нечетность).
a b $ |
b ¹ 0 |
ctg a |
$ |
a ¹ πn |
|||
2n |
|
|
$ |
a ³ 0, n ÎZ |
arcsin a $ |
-1 £ a £1 |
|
a |
|||||||
loga b |
$ |
a > 0, a ¹1, b > 0 |
arccos a $ |
-1 £ a £1 |
|||
tg a $ |
a ¹ π 2 + πn, nÎZ |
|
|
|
|||
é f (x) = f (-x) - чётная функция;
êêë f (-x) = - f (x) - нечётная функция.
2.Точки пересечения графика функции с осями коорди- нат. Знаки функции. Периодичность.
f(x) º f (x ± T ) - периодическая.
3.Найти вертикальные асимптоты.
lim f (x) = ± ¥ , a - точка разрыва II-го рода.
x→a
4.Найти наклонные (горизонтальные) асимптоты.
y = kx + b, k = lim |
f (x) |
; b = lim |
( |
f |
( |
x |
) |
- kx |
) |
. |
|
x |
|||||||||||
x→ ∞ |
x→∞ |
|
|
|
|
5.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
f ¢(x) > 0 Þ возрастает; |
f ¢(x)< 0 Þ убывает. |
ïì f ¢ (x)= 0; |
ïì f ¢ (x) = 0; |
íï f ¢ (x - Dx)< 0; Þ min f (x); íï f ¢ (x - Dx) > 0; Þ max f (x). |
|
ï |
ï |
ï f ¢ (x + Dx) > 0. |
ï f ¢ (x + Dx)< 0. |
î |
î |
6.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
f ¢¢(x) > 0 Þ вогнутость; f ¢¢(x) < 0 Þ выпуклость;
ì f ¢¢(x) = 0; |
ì f ¢¢(x) = 0; |
íï f ¢¢(x - Dx) < 0; |
íï f ¢¢(x - Dx) > 0; Þ точки перегиба. |
ïî f ¢¢(x + Dx) > 0. ïî f ¢¢(x + Dx) < 0.
7.Используя полученные данные построить график функции.
Андрей Ивашов |
- 29 - |
Приложения............................................................................... |
- 34 - |
Комплексные числа........................................................................ |
- 36 - |
Определения............................................................................... |
- 36 - |
Основные свойства.................................................................. |
- 36 - |
Значения функций комплексных аргументов............... |
- 37 - |
Ряды..................................................................................................... |
- 38 - |
Определения............................................................................... |
- 38 - |
Разложение в степенные ряды............................................ |
- 38 - |
Признаки сходимости рядов................................................ |
- 38 - |
Таблица разложенных в степенные ряды функций.... |
- 38 - |
Приложения............................................................................... |
- 39 - |
Теория вероятности..................................................................... |
- 40 - |
Основные правила.................................................................... |
- 40 - |
Решение уравнений........................................................................ |
- 42 - |
Квадратные уравнения......................................................... |
- 42 - |
Кубические уравнения............................................................ |
- 42 - |
Степенные уравнения высших порядков......................... |
- 43 - |
Тригонометрические уравнения........................................ |
- 43 - |
Частные случаи тригонометрических уравнений.... |
- 43 - |
Логарифмические уравнения............................................... |
- 44 - |
Системы линейных алгебраических уравнений............ |
- 44 - |
Дифференциальные уравнения........................................... |
- 44 - |
Решение неравенств...................................................................... |
- 46 - |
Двойные неравенства............................................................ |
- 46 - |
Степенные неравенства....................................................... |
- 46 - |
Логарифмические неравенства.......................................... |
- 46 - |
Тригонометрические неравенства.................................. |
- 46 - |
Обратные тригонометрические неравенства........... |
- 47 - |
Приложения..................................................................................... |
- 48 - |
Математические константы ........................................... |
- 48 - |
Математические обозначения.......................................... |
- 49 - |
Математические функции.................................................. |
- 50 - |
Греческий алфавит................................................................. |
- 52 - |
Латинский алфавит.............................................................. |
- 52 - |
Для заметок..................................................................................... |
- 53 - |
Содержание...................................................................................... |
- 57 - |
Андрей Ивашов |
- 2 - |
Андрей Ивашов |
- 59 - |
|
a |
|
= a |
|
|
c |
|
= a |
× d |
= ad (приведение к общему виду); |
|||||
· |
b |
|
|
: |
|
||||||||||
|
c |
|
|
|
|
b |
|
|
d |
b |
c |
bc |
|||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
a |
± |
c |
|
= ad ± bc |
(сложение дробей); |
|||||||||
|
b |
|
|
d |
|
|
|
|
bd |
|
|
||||
· |
a |
× |
c |
= |
ac |
(умножение дробей); |
|||||||||
b |
d |
bd |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
· |
a |
: |
c |
|
= ad |
(деление дробей); |
|||||||||
b |
d |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
bc |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
c |
æ 1 |
|
|
1 ö |
|
|
c |
, a ¹ b |
(разложение на |
||
· |
|
|
|
|
= ç |
|
+ |
|
|
÷ |
× |
|
|
элементарные |
|
(n + a)(n +b) |
|
n |
|
b |
- a |
||||||||||
|
è n +a |
|
+b ø |
|
|
дроби). |
|||||||||
Пропорции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
· |
a |
= |
c |
Þ ad = cb, b ¹ 0; d ¹ 0 . |
|
|
|
||||||||
|
b |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы сокращённого умножения
·a2 - b2 = (a - b)×(a + b) ;
·(a ± b )2 = a2 ± 2ab + b2 ;
·a3 ± b3 = (a ± b )×(a2 m ab + b2 ) ;
·(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 ;
·(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ;
·an ± bn = (a ± b )×(an−1 m an−2b + ... m abn−2 + bn−1 ) ;
·(a ± b)n = Cn0a n ± Cn1a n−1b + Cn2a n−2b2 ± ...
... +Cnk an−kbk ± ...+ Cnn−1abn−1 ±Cnnbn (бином Ньютона).
Средние значения конечного массива элементов
· |
Sa |
= |
a1 + a2 +... + an |
(среднее арифметическое значение); |
||
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
||
· |
Sa |
= n |
|
|
(среднее геометрическое значение); |
|
a1 × a2 ×...×an |
||||||
· Sa |
= |
|
|
|
n |
|
|
1 |
+ |
1 |
+... + |
1 |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
an |
|||
|
|
a1 |
a2 |
||||
Андрей Ивашов
(среднее гармоническое значение).
- 4 -
Содержание
Тождественные преобразования................................................ |
- 3 - |
|
Свойства степеней................................................................... |
|
- 3 - |
Свойства арифметических корней..................................... |
- 3 - |
|
Свойства дробей......................................................................... |
|
- 3 - |
Пропорции.................................................................................... |
|
- 4 - |
Формулы сокращённого умножения................................... |
- 4 - |
|
Средние значения конечного массива элементов.......... |
- 4 - |
|
Свойства модулей..................................................................... |
|
- 5 - |
Комбинаторика................................................................................ |
|
- 6 - |
Факториал................................................................................... |
|
- 6 - |
Двойной факториал.................................................................. |
|
- 6 - |
Символ Ньютона....................................................................... |
|
- 6 - |
Основные законы........................................................................ |
|
- 7 - |
Прогрессии.......................................................................................... |
|
- 8 - |
Арифметическая прогрессия................................................. |
- 8 - |
|
Геометрическая прогрессия................................................... |
- 8 - |
|
Тригонометрия................................................................................. |
|
- 9 - |
Основные понятия..................................................................... |
|
- 9 - |
Таблица значений тригонометрических функций....... |
- 9 - |
|
Формулы приведения................................................................ |
|
- 9 - |
Знаки тригонометрических функций................................ |
- 9 - |
|
Определения............................................................................... |
|
- 10 - |
Связь функций одного угла................................................... |
- 10 - |
|
Формулы сложения аргументов........................................ |
- 11 - |
|
Формулы кратных аргументов......................................... |
- 11 - |
|
Сложение тригонометрических функций...................... |
- 11 - |
|
Произведения тригонометрических функций.............. |
- 12 - |
|
Формулы понижения степени............................................. |
- 12 - |
|
Формулы половинного угла.................................................. |
- 13 - |
|
Универсальная тригонометрическая подстановка.. |
- 13 - |
|
Обратные тригонометрические функции.................... |
- 13 - |
|
Соотношение функций углов треугольника................. |
- 14 - |
|
Формулы косоугольных треугольников.......................... |
- 14 - |
|
Преобразование выражений................................................ |
- 14 - |
|
Логарифмы....................................................................................... |
|
- 15 - |
Определение логарифма........................................................ |
|
- 15 - |
Основные логарифмические тождества........................ |
- 15 - |
|
Свойства логарифмов............................................................ |
|
- 15 - |
Аналитическая геометрия (R2)............................................... |
- 16 - |
|
Прямая......................................................................................... |
|
- 16 - |
Расстояния................................................................................. |
|
- 16 - |
Андрей Ивашов |
- 57 - |
|
|
Комбинаторика |
Факториал |
|
|
n |
· |
n! =1×2 ×3×...×(n -1)× n = Õm, nÎ N (определение); |
m=1
·0!= 1;
·(n +1)! = n!(n +1) ;
· n! » |
|
|
|
æ n |
ön |
|
при |
|
n ® ¥ (формула Стирлинга); |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2π n ç |
÷ , |
|
||||||||||
|
|
|
|
è e |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ n |
ön |
|
θn |
|
при 0 <θn <1 ; |
|
|||
n! = |
|
|
|
e12n , |
|
||||||||
|
2πn ç |
÷ |
|
||||||||||
|
|
|
|
è e |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ n ön |
æ |
|
1 |
|
1 |
|
139 |
ö |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
n!= |
2πnç ÷ |
× |
ç1+ |
|
+ |
|
- |
|
+O(n−4 )÷, n >3 . |
||||
12n |
2 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
è e ø |
|
è |
|
|
288n |
51840n |
ø |
|||
Двойной факториал
·0!! =1 ;
|
n |
|
· |
(2n)!! = 2× 4×6 ××× 2n = Õ2m, n Î N ; |
|
|
m=1 |
|
|
(2n +1)!!= 1×3×5×××(2n + |
n |
· |
1) = Õ(2m +1), n Î N . |
|
m=1
Символ Ньютона
· |
æ n ö |
= |
|
|
n! |
|
|
|
, |
mÎ |
||
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m!(n - m)! |
|||||||||||
|
è mø |
|
|
|
|
|
||||||
· |
æ n ö |
= |
æ |
n |
ö |
; |
|
|
|
|
||
ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
||||
|
è mø |
|
è n - m |
ø |
|
|
|
|
|
|||
· |
æ n ö |
+ |
æ |
n ö æ n +1ö |
, |
|||||||
ç |
÷ |
ç |
÷ |
= ç |
|
÷ |
||||||
|
è mø |
|
è n - mø è |
|
m ø |
|
||||||
·æ nö = æ nö =1 ; çè 0÷ø çè n÷ø
· |
æ n |
ö |
æ |
n ö |
= n ; |
ç |
÷ |
= ç |
÷ |
||
|
è 1 |
ø |
è n -1ø |
|
|
· |
n |
æ n ö |
= 2n . |
|
|
å |
ç |
÷ |
|
||
|
m=0 |
èmø |
|
|
|
Андрей Ивашов
N, 0 £ m £ n (определение);
1 £ m £ n ;
- 6 - |
Андрей Ивашов |
- 55 - |
Прогрессии |
Для заметок |
Арифметическая прогрессия
· an = a1 + d (n -1) = an+1 - d = an−1 + an+1 ;
2
·n = an - a1 +1 ; d
·Sn = a1 + an ×n = 2a1 + d (n -1) × n ;
2 2
· am + an = ap + aq, m + n = p + q .
Геометрическая прогрессия
·bn = b1 × qn−1 = bnq+1 ;
· Sn |
= |
b1 (1- qn ) |
, q ¹ 1; |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1- q |
|
|
|
|
|
|
||
· Sn = n×b1, q =1 ; |
||||||||||||||
· |
b2 |
= b |
×b |
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
m−1 |
m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
· bm ×bn = bp ×bq , |
m + n = p + q ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
· |
S = |
|
|
|
= åa1qn−1 = lim Sn , |
|
q |
|
<1 (сумма бесконечно убы- |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
- q |
|||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|||||
вающей геометрической прогрессии).
Андрей Ивашов |
- 8 - |
Андрей Ивашов |
- 53 - |
Определения
· tg a = cossin aa = cosecsec aa = ctg1 a ; · ctg a = cossin aa = cosecsec aa = tg1a ; · sec a = cos1 a ;
· cosec a = sin1 a ;
· sh a = ea - e−a ;
2
· ch a = ea + e− a ;
2
·th a = sh a = ea - e−a ; ch a ea + e−a
·cth a = ch a = ea + e−a . sh a ea - e−a
Связь функций одного угла
·sin2 a + cos2 a =1 ;
·ch2 a - sh2 a = 1 ;
·tg a ×ctg a =1 ;
·th a ×cth a =1 ;
·sin a ×coseca =1 ;
·cos a ×seca =1 ;
· 1+ tg2 a = |
1 |
|
= sec2 a ; |
|
cos2 |
a |
|||
|
|
·1+ ctg2 a = sin12 a = cosec2 a ;
·th2 a + ch12 a =1 ;
·cth2 a - sh12 a = 1 ;
arcth |
cth−1 |
Гиперболический арккотангенс (аэро- |
котангенс - обратный [инверсный] |
||
|
|
гиперболический котангенс); |
amph |
|
Гиперболическая амплитуда (гудер- |
gd |
|
маниан). |
Si |
|
|
|
Интегральный синус; |
|
Ci |
|
Интегральный косинус; |
Ei |
|
Интегральная экспонента; |
li |
|
Интегральный логарифм; |
det |
|
Детерминант (определитель); |
lim |
|
Предел (лимит); |
arg |
|
|
|
Аргумент; |
|
grad |
|
Градиент. |
Андрей Ивашов |
- 10 - |
Андрей Ивашов |
- 51 - |