Билет 8 (8, 28,48)

8.Малые напряжения и малые деформации.

Деформация называется упругой, если после того, как на тело перестали действовать внешние силы тело восстанавливает первоначальные размеры и форму. Деформации, сохраняющиеся в теле после прекращения действия внешних сил, называютсяпластическими (или остаточными). На практике деформации тела всегда пластические, поскольку они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Но если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и считать данные деформации упругими деформации. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, изгиб, сдвиг, кручение) могут быть сведены к композиции (одновременному действию) деформаций растяжения или сжатия и сдвига

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 1), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы F₁ и F₂ (F₁=F₂=F), из-за чего длина стержня изменяется на величину Δl

Естественно, что при растяжении Δl положительно, а при сжатии отрицательно.  Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением:   (1)  Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным, если же по касательной к поверхности -тангенциальным.  Количественной мерой, которая характеризует степень деформации, испытываемой телом, есть его относительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)   (2)  относительное поперечное растяжение (сжатие)   где d - диаметр стержня.  Деформации ε и ε' всегда имеют разные знаки (при растяжении Δl положительно, a Δd отрицательно, при сжатии Δl отрицательно, a Δd положительно). Из опыта известна взаимосвязь ε и ε':    где μ - положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона.  Английский физик Р. Гук (1635-1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение ε и напряжение σ прямо пропорциональны друг другу:   (3)  где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Из формулы (3) замечаем, что модуль Юнга определяется напряжением, действие которого делает относительное удлинение, равное единице. Из формул (2), (3) и (1) следует, что    или   (4)  где k - коэффициент упругости. Выражение (4) также выражает закон Гука для одномерного случая, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

28.Волновое число

Волново́е число́ (также^] называемое пространственной частотой) — это отношение 2π радиан к длине волны:  пространственный аналог круговой частоты

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном - это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определенное выбранное направление.

Единица измерения — рад·м⁻¹, физическая размерность м⁻¹. (В системе СГС: см⁻¹).

• В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см⁻¹). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.

Используется в физике, математике (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений.

Определение: волновым числом k называется скорость роста фазы волны φ по пространственной координате:

Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями:

Исходя из этого можно получить разные более-менее удобные формулировки:

• Волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра).

• Волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на 1 метр.

• Волновое число равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров.

• 

• где:

•  — λ —  длина волны,

•  —   (греческая буква «ню») — частота,

•  —  _φ — Фазовая скорость волны,

•  — ω — угловая частота.

• Для монохроматической бегущей волны можно записать:

• 

• - для фазы,

• 

• - для самой волны,

• или

• 

• - для комплексной волны; здесь   может быть спрятано в  ,

• для монохроматической стоячей волны:

• 

48. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ, физические законы, согласно которым некоторое свойство замкнутой системы остается неизменным при каких-либо изменениях в системе. Самыми важными являются законы сохранения вещества и энергии. Закон сохранения вещества утверждает, что вещество не создается и не разрушается; при химических превращениях общая масса остается неизменной. Общее количество энергии в системе также остается неизменным; энергия только преобразуется из одной формы в другую. Оба эти закона верны лишь приблизительно. Масса и энергия могут превращаться одна в другую согласно уравнению Е = тс². Неизменным остается лишь общее количество массы и эквивалентной ей энергии. Еще один закон сохранения касается электрического заряда: его также нельзя создать и нельзя уничтожить. В применении к ядерным процессам закон сохранения выражается в том, что общая величина заряда, спин и другие КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА взаимодействующих частиц должны остаться такими же у частиц, возникших в результате взаимодействия. При сильных взаимодействиях все квантовые числа сохраняются. При слабых взаимодействиях некоторые из требований этого закона нарушаются, особенно в отношении ЧЕТНОСТИ.

В теории волн уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения энергии в элементарном объеме, в котором распространяются волны любой природы. Его дифференциальная форма

где   — вектор плотности потока энергии в точке с координатами   в момент времени  ,   — плотность энергии.

Вывод

По определению, вектор плотности потока энергии — это вектор, модуль которого равен энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, за единицу времени, то есть  , а направление его совпадает с направлением переноса энергии. Тогда энергия, вытекающая в единицу времени из некоторого макроскопического объема V,

По закону сохранения энергии  , где   — энергия, находящаяся в объеме V. По определению, плотность энергии — энергия единицы объема, тогда полная энергия, заключенная в данном объеме, равна

Тогда выражение для потока энергии примет вид

Применяя формулу Гаусса-Остроградского к левой части выражения, получим

В силу произвольности выбранного объема, заключаем что подынтегральные выражения равны, откуда и получаем дифференциальную форму уравнения непрерывности.