2. Анализ модели тоу

Для анализа модели ТОУ возьмем модель zn4s, имеющею один из наилучших показателей адекватности. В разделе 3.3.5 были получены различные виды этой модели:

• zn4s – дискретная модель тета-формата (LTI-формата)

State-space model: x(t+Ts) = A x(t) + B u(t) + K e(t)

y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)

A =

x1 x2 x3

x1 0.96014 -0.21598 0.062944

x2 0.24873 0.66536 0.2574

x3 -0.036067 -0.64612 0.14772

B =

Расход газа

x1 -0.00029117

x2 -0.012463

x3 -0.032588

C =

x1 x2 x3

температура 18.093 0.078884 -0.1539

D =

расход газа

температура 0

K =

температура

x1 0.026294

x2 -0.00982

x3 -0.076941

x(0) =

x1 0

x2 0

x3 0

Estimated using N4SID from data set zdanv

Loss function 0.00213802 and FPE 0.0022164

Sampling interval: 0.1,

где выражение Sampling interval (интервал дискретизации) указывает на то, что модель представлена в дискретном виде;

• sn4s – непрерывная модель тета-формата (LTI-формата)

State-space model: dx/dt = A x(t) + B u(t) + K e(t)

y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)

A =

x1 x2 x3

x1 -0.19842 -1.6567 1.7776

x2 2.6343 -1.0547 5.106

x3 1.474 -13.427 -12.397

B =

расход газа

x1 0.02622

x2 -0.022958

x3 -0.65355

C =

x1 x2 x3

температура 18.093 0.078884 -0.1539

D =

расход газа

температура 0

K =

температура

x1 0.34674

x2 0.10592

x3 -1.4143

x(0) =

x1 0

x2 0

x3 0

Estimated using N4SID from data set zdanv

Loss function 0.00213802 and FPE 0.0022164;

Как видно в представленных моделях значения коэффициентов матриц A, B, C, D, K различны. Это объясняется тем, что для непрерывной модели произведено Z-преобразование с целью получения дискретной модели;

• zzn4s – дискретная модель в виде передаточной функции

; (3.43)

• sysn4s – непрерывная модель в виде передаточной функции

. (3.44)

Следует напомнить, что приведенные виды являются одной и той же моделью, записанной в разных формах и форматах. Проанализируем динамические характеристики модели. Построим переходную характеристику ТОУ для дискретной и непрерывной моделей и определим основные показатели переходного процесса. Для этого можно воспользоваться командой step(zn4s,sn4s), либо командой plot(zn4s,sn4s). Различие заключается в том, что в последнем случае представляется возможность использовать все достоинства LTI view (см. рис. 3.27).

Рис. 3.27. Графики переходных процессов модели zn4s и sn4s

На графиках переходных процессов ступенчатой линией представлен переходной процесс дискретной модели, а сплошной линией – непрерывной модели. Кроме того, в поле графика указаны основные характеристики переходного процесса:

• время нарастания переходного процесса (Rise time) – 0,913 с для непрерывной модели и 0,9 с для дискретной модели;

• время регулирования (Setting time) – 1,9 с для обоих моделей;

• установившееся значение выходной координаты (Final value) – 0,948 для обоих моделей.

Для построения импульсной характеристики моделей необходимо воспользоваться командой impulse(zn4s,sn4s), либо, щелкнув правой кнопкой мыши в поле графика LTI view, выбрать опцию Plot Types ►Impulse (см. рис. 3.28).

Рис. 3.28. Графики импульсной характеристики

Основными характеристиками модели ТОУ при подаче на вход единичного импульсного воздействия являются:

• пиковая амплитуда (Peak amplitude) составляет для дискретной модели 0,14, а для непрерывной – 1,41.

• время регулирования составляет для дискретной модели 2,2 с, а для непрерывной модели – 2,1 с.

Определим статический коэффициент усиления модели ТОУ с помощью

команды

>> k=dcgain(sysn4s)

k =

0.9476.

Определим частотные характеристики моделей с помощью команды bode (zn4s,sn4s) либо, щелкнув правой кнопкой мыши в поле графика LTI view, выбрать опцию Plot Types ► Bode (см. рис. 3.29).

Рис. 3.29. Частотные характеристики моделей

На графиках частотных характеристик указаны значения запасов устойчивости по амплитуде (Gain Margin), которые для дискретной модели составляет 9,3 dB, а для непрерывной модели – 10,5 dB.

Значения запасов устойчивости можно определить также и в режиме командной строки MATLAB с помощью команд:

>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sysn4s) – для непрерывной модели:

Gm =

3.3642

Pm =

Inf

Wcg =

6.1977

Wcp =

NaN.

>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(zzn4s) – для дискретной модели:

Gm =

2.9158

Pm =

Inf

Wcg =

5.4941

Wcp =

NaN,

где Gm – запас устойчивости по амплитуде в натуральных величинах на частоте Wcg, Pm – запас устойчивости по фазе на частоте Wcp.

Для определения запасов устойчивости в логарифмическом масштабе необходимо выполнить следующие операции:

>> Gmlog=20*log10(Gm) – для дискретной модели:

Gmlog =

9.2951

>> Gmlog=20*log10(Gm) – для непрерывной модели:

Gmlog =

10.5377.

Как видно, определение запасов устойчивости последним способом позволяет значительно точнее вычислять эти значения, чем на графиках частотных характеристик.

Анализ частотных характеристик показывает, что модели zzn4s и sysn4s являются устойчивыми с соответствующими запасами устойчивости по амплитуде. Запас устойчивости по фазе равен бесконечности.

Этот вывод подтверждается так же комплексной амплитудно-фазовой характеристикой АФХ, которая в зарубежной литературе называется диаграммой Найквиста (см. рис. 3.30), так как годограф АФХ не пресекает точку комплексной плоскости с координатами –1, j0.

Для построения АФХ необходимо воспользоваться командой nyquist(zzn4s,sysn4s), либо, щелкнув правой кнопкой мыши в поле графика LTI view, выбрать опцию Plot Types ► Nyquist.

Определить устойчивость моделей можно с помощью карты нулей и полюсов по расположению нулей моделей относительно окружности с единичным радиусом на комплексной плоскости, как это было показано на рис. 3.12.

Построить карту нулей и полюсов моделей можно так же с помощью команды pzmap(zzn4s,sysn4s), либо – pzmap(zn4s,sn4s).

Следует напомнить, что модель объекта автоматизации рассматривает-

Рис. 3.30. Годограф АФХ с указанием значений запасов устойчивости

для непрерывной и дискретной моделей

ся нами в виде, показанном на рис. 3.2, при этом выходной параметр объекта автоматизации (в нашем случае температура) y(t) складывается из двух составляющих: теоретический выход объекта y^’(t) и аддитивная помеха e(t), вызванная влиянием внешних факторов на объект автоматизации. Последняя составляющая является чисто случайной величиной и характеризуется статистическими параметрами. В ходе идентификации в разделе 3.3.6 нами были получены зависимости, определяющие составляющую e(t) и корреляционные зависимости между e(t) и выходом объекта y^’(t).

Для наглядности построим график изменения e(t) и определим основные статистические характеристики помехи с помощь команды plot (e) (см. рис.3.31).

Для получения статистических характеристик необходимо в строке меню графика в позиции Tools выбрать опцию Data statistics. Результатом выполнения команды явится окно, в котором будут указаны основные статистические характеристики случайного процесса изменения во времени e(t)

(см. рис. 3.32), к которым относятся:

• min и max – минимальное и максимальное значения помехи. Для нашего случая – 0,1976 и 0,3563 соответственно;

• mean – арифметическое среднее значение (0,09945);

• median – медиана процесса (0,09806);

Рис. 3.31. График аддитивной помехи e(t)

Рис. 3.32. Статистические характеристики e(t)

• std – среднеквадратическое отклонение (0,08177);

• range – диапазон изменения помехи от минимального до максимального значения (0,5242).

Во всех случаях размерность аддитивной помехи такая же, как и выходная величина объекта автоматизации – ^оС.

Полученные статистические характеристики помехи могут быть полезны в дальнейшем при синтезе системы автоматического регулирования температуры теплового объекта автоматизации.

Для решения задач анализа и синтеза систем управления важно знать ответ на другой не менее важный вопрос, чем полученные временные, частотные и статистические характеристики: обладает ли объект свойством управляемости в смысле возможности его перевода из заданной начальной точки (или области) в заданную конечную точку (или область). До второй половины девятнадцатого столетия проблема управляемости – проблема установления обладания объектом свойством управляемости решалась чисто интуитивно на основе инженерных знаний и опыта. В настоящее время, с развитием метода переменных состояния стало возможным строгое определение свойства управляемости и установление критерия управляемости.

Решение проблемы управляемости основано на анализе уравнений переменных состояния вида 3.34 или 3.35 и формулируется следующим образом: объект называется вполне управляемым, если выбором управляющего воздействия u(t) на интервале времени [t₀, t_k] можно перевести его из любого начального состояния y(t₀) в произвольное заранее заданное конечное состояние y(t_k).

Критерием управляемости линейных стационарных объектов является условие: для того чтобы объект был вполне управляем, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости

M_U = (B AB A²B … A^n-1B) (3.45)

равнялся размерности вектора состояний n

rang M_U = n. (3.46)

В пакете Control System Toolbox имеется функция ctrb, формирующая матрицу управляемости в пространстве состояний. Для того, чтобы воспользоваться этой функцией необходимо вычислить матрицы A, B, C, D с помощью команды:

>> [A,B,C,D]=ssdata(sn4s)

A =

-0.1984 -1.6567 1.7776

2.6343 -1.0547 5.1060

1.4740 -13.4267 -12.3967

B =

0.0262

-0.0230

-0.6535

C =

18.0931 0.0789 -0.1539

D =

0.

Следует обратить внимание, что для расчета матриц используется непрерывная модель, так как дискретная модель имеет другие значения, а в критерии управляемости используются матрицы линейных непрерывных стационарных объектов.

Вычислим матрицу управляемости:

>> Mu=ctrb(A,B)

Mu =

0.0262 -1.1289 20.6164

-0.0230 -3.2437 43.5862

-0.6535 8.4487 -62.8481.

Определим ранг матрицы управляемости:

>> n=rank(Mu)

n =

3.

Таким образом, для исследуемой модели объекта размерность вектора состояний, определяемая размером матриц A и B равна трем и ранг матрицы управляемости M_U также равен трем, что позволяет сделать вывод о том, что объект автоматизации является вполне управляемым, т.е. для него имеется такое управляющее воздействие u(t), которое способно перевести на интервале времени [t₀, t_k] объект из любого начального состояния y(t₀) в произвольное заранее заданное конечное состояние y(t_k).

При синтезе оптимальных систем с обратной связью сами управления получаются как функции от фазовых координат. В общем случае фазовые координаты являются абстрактными величинами и не могут быть исследованы. Поддается измерению (наблюдению) вектор y = (y₁, …, y_k)^T, который обычно называют выходным вектором или выходной переменной, а его координаты – выходными величинами. Выходная переменная функционально связана с фазовыми координатами, и для реализации управления с обратной связью необходимо определить фазовые координаты по измеренным значениям выходной переменной. В связи с этим возникает проблема наблюдаемости, заключающаяся в установлении возможности состояния определения состояния объекта (фазового вектора) по измеренным значениям выходной переменной на некотором интервале.

Решение проблемы наблюдаемости основано на анализе уравнений переменных состояния вида 3.8 или 3.9 и формулируется следующим образом: объект называется вполне наблюдаемым, если по реакции y(t₁) на выходе объекта, на интервале времени [t₀, t₁] при заданном управляющем

воздействии u(t) можно определить начальное состояние вектора пере-

менных состояния x(t), являющихся фазовыми координатами объекта.

Критерием наблюдаемости линейных стационарных объектов является

условие: для того, чтобы объект был вполне наблюдаемым, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости

М_Y = (C^T A^TC^T (A^T)²C^T … (A^T)^n-1C) (3.47)

равнялся размерности вектора состояния

n = rang M_Y. (3.48)

Определим матрицу наблюдаемости и ее ранг с помощью функций пакета Control System Toolbox:

>> My=obsv(A,C)

My =

18.0931 0.0789 -0.1539

-3.6091 -27.9915 34.4730

-22.2084 -427.3557 -576.6903

>> n=rank(My)

n =

3.

Таким образом, для исследуемой модели объекта размерность вектора состояний, определяемая размером матриц A и С равна трем и ранг матрицы наблюдаемости M_Y также равен трем, что позволяет сделать вывод о том, что объект автоматизации является вполне наблюдаемым, т.е. для него всегда можно определить по значениям выходной величины y(t) вектор переменных состояния, необходимый для синтеза системы управления.