7.3. Обчислення та мінімізація сигналу

похибки замкненої системи.

а)

б)

Рис.7.5. Алгоритмічні схеми замкненої системи: а) початкова; б) розрахункова.

Для алгоритмічної структури замкненої системи (рис. 7.5,а) приймається, що на систему діють випадкові сигнали перешкоди і збурення з відомими спектральними щільностями і . Сигнал завдання також є випадковим із спектральною щільністю . Приймається, що всі три сигнали центровані, тому сигнал похибки також центрований.

Якщо зовнішні сигнали не корельовані між собою, то можна застосувати розрахункову схему (рис. 7.5,б) і тоді:

, (7.58)

де: обумовлена неточним відтворенням сигналу завдання , а складові і - неповним подавленням перешкоди і збурення .

Відповідно дисперсія сигналу похибки має три складові:

(7.59)

Кожну з цих дисперсій можна визначити незалежно одну від іншої:

(7.60)

(7.61)

(7.62)

Якщо зовнішні сигнали корельовані між собою, то складові похибки (7.58) також будуть корельованими, а повну дисперсію можна знайти інтегруванням загальної спектральної щільності з урахуванням (7.31). При урахуванні конкретних значень і вирази (7.60) – (7.62) інтегрувати складно, тому використовуються наближені обчислення квадратичних інтегрованих оцінок. Для систем із запізнюванням застосовують заміну дробно-раціональними функціями.

Рис. 7.6. Залежність дисперсії сигналу

похибки від коефіцієнта передачі

розімкненої системи

Як видно з рис. 7.6, існує оптимальне значення коефіцієнта передачі системи , при якому дисперсія похибки мінімальна. При цьому залежність складових і від різна.

Синтез АСР при дії випадкових сигналів зводиться до виконання загальної вимоги: максимально точно відтворювати та компенсувати чи зменшувати вплив збурення. Виконання умов точності можна звести до вимоги мінімізації дисперсії

або (7.63)

В задачі синтезу АСР при випадкових сигналах передбачається, що система повинна відтворювати не сам сигнал завдання , а деякий ідеальний сигнал :

(7.64)

де: - заданий оператор (передаточна функція ідеального перетворення вхідного сигналу).

а)

б)

Рис. 7.7. Розрахункові схеми до задачі синтезу АСР

Вид оператора залежить від призначення системи: в системах стабілізації та слідкуючих Якщо в системі діє зворотній зв’язок з коефіцієнтом , то оператор . Перетворення сигналу спотворюється дією перешкоди , тому сигнал на виході системи відрізняється від ідеального на величину похибки (рис. 7.7.) ( ). Таким чином, ставиться задача синтезу такої структури системи, яка забезпечує наближення до ідеального перетворення сигналу оператором . Ця задача з умовою (7.64) була розв’язана Н.Вінером. На рис. 7.7 показані початкова схема (а) і розрахункова (б) для задачі оптимізації структури системи, оптимальної за критерієм (7.64) при дії стаціонарних випадкових сигналів. Передбачається, що вхідний сигнал і перешкода не корельовані між собою, тоді складові похибки і будуть незалежними, а спектральну щільність сигналу можна визначити так:

(7.65)

де: - відповідно амплітудно-фазові характеристики ідеального оператора і реальної системи.

Дисперсія сигналу похибки буде:

(7.66)

Рівняння (7.66) приведено до виду, коли функція входить в один доданок підінтегрального виразу:

(7.67)

Умовою мінімуму буде:

(7.68)

Звідки оптимальна передаточна функція замкненої системи:

(7.69)

Якщо перешкода відсутня, то:

(7.70)

Якщо інтенсивність перешкоди набагато більша рівня корисного сигналу, тобто вона є білим шумом і , то , а

, (7.71)

тобто повторює форму кривої спектральної щільності завдання.

Оцінка мінімальної дисперсії визначається першим доданком підінтегрального виразу (7.67), що приводить до висновку: гранично досяжна точність системи тим вища, чим менше перекриваються спектри сигналів завдання і перешкоди.

В більшості практичних задач залежність (7.69) фізично не може реалізуватись повністю. Таким чином, отримані результати є теоретичною межею, до якої необхідно наблизити систему. Крім того, синтезована система повинна мати відповідні показники точності і при детермінованих сигналах. Наточність системи впливають також запізнювання та рівень перешкоди

[1, с. 158-184; 2, с. 293-308]

Контрольні запитання.

1. В чому особливості задач аналізу і синтезу АСР при випадкових діяннях?

2. Дайте визначення та наведіть приклади випадкових величин та сигналів.

3. Які числові характеристики використовуються для опису статистичних властивостей випадкових сигналів?

4. Що таке стаціонарний ергодичний випадковий процес?

5. Наведіть визначення та властивості кореляційної функції.

6. Як зв’язані оцінки дисперсії та значення кореляційної функції?

7. Що характеризує спектральна щільність випадкового сигналу?

8. Як зв’язані між собою числові характеристики випадкового процесу?

9. Що характеризує взаємна кореляційна функція?

10. Як оцінюються числові характеристики сукупності випадкових сигналів?

11. Що таке типові випадкові сигнали?

12. Як оцінюються показники перетворення випадкового сигналу лінійною системою?

13. Що називається формуючим фільтром?

14. Наведіть розрахункову схему для розв’язання задачі оптимізації структури системи при випадкових сигналах.

15. Від чого залежить оптимальна структура системи при випадкових сигналах?

16. Як впливає інтенсивність перешкоди на точність системи при випадкових сигналах?

17. Що перешкоджає точній реалізації оптимальної структури і передаточної функції системи при випадкових діяннях?