- •2.Математична постановка задачі математичного програмування
- •5. Приклади економічних задач математичного програмування
- •6. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування
- •7. Форми запису задач лінійного програмування
- •9. Основні властивості розв’язків задачі лінійного програмування
- •19. Модифікації симплексного методу*
- •21. Правила побудови двоїстих задач.
- •23. Післяоптимізаційний аналіз задач лінійного програмування
- •24. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень
- •27. Двоїстий симплекс метод
- •28. Параметричне програмування
- •29. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач
- •30. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції
- •31. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів
- •32. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
- •33. Аналіз коефіцієнтів матриці обмежень
- •34. Використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі.
- •35. Економічна і математична постановка транспортної задачі
- •36. Методи побудови опорного плану транспортної задачі.
- •38.Методирозв’язування транспортної задачі
- •Метод мінімальної вартості
- •Метод подвійної переваги
- •39. Задача, двоїста до транспортної
- •42. Транспортна задача з додатковими умовами
- •46. Геометрична інтерпретація розв’язків цілочислових задач лінійного програмування на площині
- •47. Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування
- •48. Методи відтинання. Метод Гоморі
- •Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних xj , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:
- •56. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •У разі, якщо
- •63.Метод розвязання задач квадратичного програмування.
- •63.Метод розв’язування задач квадратичного програмування
- •66. Метод рекурентних співвідношень
- •Принцип оптимальності
- •68.Багатокроковий процес прийняття рішень
- •76. Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк)
- •77. Оператор оцінювання 1мнк
- •. Оцінювання параметрів моделі методом найменших квадратів
- •78.Оцінювання параметрів моделі методом максимальної правдоподібності
- •79. Властивості оцінок параметрів
- •1) Перевірка гетероскедастичності на основі критерію
- •2) Параметричний тест Гольдфельда—Квандта
- •2.4. Тест Глейсера
- •92. Критерій Дарбіна—Уотсона
- •2.2. Критерій фон Неймана
- •93. Метод Ейткена
- •96. Лаги незалежних змінних
- •4.4. Інструментальні змінні
63.Метод розвязання задач квадратичного програмування.
63.Метод розв’язування задач квадратичного програмування
Зазначимо, що відомим з теорії аналізу функцій є таке твердження: від’ємно означена квадратична форма є угнутою, а додатно означена — опуклою.
Розглянемо випадок від’ємно означеної квадратичної форми, що входить у цільову функцію задачі квадратичного програмування.
max , (8.42)
; (8.43)
. (8.44)
Оскільки цільова функція задачі є опуклою, а обмеження — лінійні, тобто визначають опуклу множину допустимих розв’язків, то ця задача належить до задач опуклого програмування, для яких справджується твердження, що будь-який локальний максимум є і глобальним. Отже, використовуючи умови теореми Куна — Таккера для задачі (8.42)—(8.44), отримаємо необхідні та достатні умови оптимальності плану у вигляді такої теореми.
Теорема 8.6. Вектор Х* є оптимальним розв’язком задачі квадратичного програмування тоді, і тільки тоді, коли існують такі m-вимірні вектори і n-вимірний вектор , що виконуються умови:
(І) , ; (8.45)
(ІІ) , ; (8.46)
(ІІІ) , ; (8.47)
(ІV) , . (8.48)
Доведення. Запишемо функцію Лагранжа для задачі квадратичного програмування (8.42)—(8.44):
+ . (8.49)
Нехай — сідлова точка функції Лагранжа, тобто яка визначає оптимальний план задачі квадратичного програмування. Застосуємо теорему 8.4 до виразу (8.49). За теоремою для того, щоб точка визначала оптимальний план, необхідно і достатньо виконання умов (8.38)—(8.41):
для має виконуватись умова:
, , (8.50)
а також , (8.51)
а для має виконуватись умова:
, , (8.52)
а також . (8.53)
Візьмемо два вектори та , компоненти яких будуть введені як додаткові змінні в рівняння (8.50) та (8.52). Для цього виберемо , якщо і , якщо . Аналогічно виберемо , якщо і , якщо . Тепер додамо компоненти вектора у (8.50) і віднімемо компоненти вектора від (8.52). Враховуючи правила вибору компонент векторів, матимемо для (8.50):
, .
Звідси: , тому для (8.51) маємо:
.
Аналогічно для другої групи обмежень:
, .
Звідки , тому .
Теорему доведено.
Наведену теорему можна використати для побудови ефективного методу розв’язування задач квадратичного програмування на основі алгоритму симплексного методу.
Умови (8.45)—(8.49) утворюють стосовно змінних систему (n + m) рівнянь з 2(n + m) невідомими.
Умови (8.47) та (8.48) означають, що змінні не можуть одночасно мати додатні значення, тобто входити в базис разом. Якщо деякі k компонент вектора додатні, то відповідні їм компоненти вектора V дорівнюють нулю і лише (n – k) компонент відмінні від нуля (додатні). Отже, разом будуть мати не більш ніж n додатних компонент. З аналогічних міркувань щодо рівності (8.48) випливає, що разом з буде n + m відмінних від нуля компонент, тобто це може бути базисний розв’язок системи, що утворена умовами (8.45) та (8.47). Для знаходження такого розв’язку можна застосувати симплексний метод.
Якщо зазначена система рівнянь має допустимий план (він буде єдиним), то оптимальний план відповідної задачі квадратичного програмування також існує.
Розв’язуємо систему рівнянь (8.45) і (8.47) симплексним методом. Як відомо, спочатку необхідно привести систему обмежень до канонічного виду введенням потрібної кількості додаткових та штучних змінних. Для зведення системи до канонічної форми та визначення початкового опорного плану вводимо штучні змінні у рівняння виду (8.45), які будуть базисними для першого опорного плану, а змінні — у групу рівнянь (8.47), які також дають базисні змінні для початкового плану. Потім для знаходження базисного розв’язку системи (8.45), (8.47) розв’язуємо симплексним методом таку задачу лінійного програмування:
max (8.54)
за умов:
(8.55)
. (8.56)
Якщо в процесі розв’язування задачі (8.54)—(8.56) всі штучні змінні будуть виведені з базису і разом з цим для знайдених значень змінних виконуються умови (8.46), (8.48), то знайдений розв’язок є оптимальним планом задачі квадратичного програмування (8.42)—(8.44).