Глава 2. Приближение пробного тела
В этом подходе считается, что масса одного тела m пренебрежимо мала по сравнению с массой второго M; это неплохое приближение даже для планет, вращающихся вокруг Солнца, и практически идеальное для космических аппаратов. В таком случае можно считать, что первое тело является пробным, то есть оно не вносит возмущений в гравитационное поле второго тела, а лишь следует по геодезическим линиям формируемого вторым телом пространства-времени. Так как обычно задача двух тел рассматривается в масштабах, намного меньше космологических, то влиянием лямбда-члена на метрику можно пренебречь и гравитационное поле любого сферически-симметричного тела будет даваться решением Шварцшильда. Движение лёгкого тела, называемого в дальнейшем частицей, таким образом происходит по геодезическим пространства Шварцшильда, если пренебречь приливными силами и реакцией гравитационного излучения.
Именно в этом приближении Эйнштейном была впервые вычислена аномальная прецессия перигелия Меркурия, что послужило первым подтверждением общей теории относительности и решило одну из известнейших на тот момент проблем небесной механики. Это же приближение достаточно точно описывает отклонение света, другое знаменитое явление, предсказанное общей теорией относительности. В то же время оно не достаточно для описания процесса релятивистского сокращения орбит из-за гравитационного излучения.
Геометрическое введение
В обычной евклидовой геометрии верна теорема Пифагора (1), которая утверждает, что квадрат расстояния ds² между двумя бесконечно близкими точками в пространстве равен сумме квадратов дифференциалов координат
(1)
где dx, dy и dz представляют собой бесконечно малые разности между координатами точек по осям x, y и z декартовой системы координат. Теперь представим себе мир, в котором это уже неверно, а расстояния задаются соотношением
где F, G и H — некоторые функции положения. Это нетрудно вообразить, так как мы живём в таком мире: поверхность Земли изогнута, так что её нельзя без искажений представить на плоской карте. Недекартовы координатные системы также могут быть примером: в сферических координатах (r, θ, φ) евклидово расстояние (2) записывается как
(2)
Наконец, в общем случае мы должны допустить, что линейки могут менять свою координатную длину не только при смене положения, но и при поворотах. Это приводит к появлению перекрёстных членов в выражении для длины
где 6 функций gxx, gxy и так далее преобразуются при смене координат как компоненты тензора, называемого метрическим (или просто метрикой), который определяет все характеристики пространства в этой обобщённой римановой геометрии. В сферических координатах, например, в метрике нет перекрёстных членов, а единственные её ненулевые компоненты — это grr = 1, gθθ = r² и gφφ =r² sin² θ.
Отметим специально, что после задания метрического тензора в какой-то системе координат вся геометрия риманова пространства оказывается жёстко заданной, и не меняется при преобразованиях координат. Проще говоря, координаты — это произвольные числа, которые лишь указывают на точку пространства, а расстояние, измеренное физической линейкой между двумя зафиксированными точками, не зависит от того, какие координаты мы им присваиваем — является инвариантом при смене координатных сеток.
В специальной теории относительности Альберт Эйнштейн показал, что расстояние ds между двумя точками в пространстве не является инвариантом, а зависит от движения наблюдателя. Это расстояние оказывается проекцией на одновременное пространство истинно инвариантной величины — интервала, не зависящей от движения наблюдателя, но включающей в себя помимо пространственных также и временную координату точек пространства-времени, называемых при этом событиями
Аналогично можно переписать интервал в сферических координатах
Эта формула представляет собой естественное обобщение теоремы Пифагора и справедлива в отсутствие кривизны пространства-времени. В общей же теории относительности пространство-время искривлено, так что «расстояние» выражается общей формулой (3):
(3)
где применено правило суммирования Эйнштейна — по индексу, встречающемуся сверху и снизу, подразумевается суммирование по всем его значениям, в данном случае — четырём (трём пространственным и одной временной координате). Точные значения компонент метрики определяются распределением гравитирующего вещества, его массы, энергии и импульса, через уравнения Эйнштейна. Эйнштейн вывел эти уравнения, исходя из известных законов сохранения энергии и импульса; однако решения этих уравнений предсказали не наблюдавшиеся ранее явления, типа отклонения света, которые были подтверждены позже.