Повторение независимых испытаний

25. Запишите формлу Бернулли. Какое ее предназначение?

Теорема. Если вероятность р наступления соб. А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рm,n того, что соб. А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна , q=1-p. Док-во: Пусть Ai и Āi - соответственно появление и непоявление соб. А в i-м испытании (i=1,2…n), а Bm – соб-е, состоящее в том, что в n независимых испытаниях соб. А появилось m раз. Представим событие Вm через элементарные события Ai. Наприм n=3, m=2: В2=А1А2Ā+А1ĀА3+ ĀА2А3. В общем виде: Bm=А1А2…AmĀm+1+A1Ā2A3…Ān-1An+…+Ā1Ā2… Ān-mĀn-m+1, т.е. кажд вариант появл-я соб. Вm состоит из m появлений соб. А и n-m соб. Ā с разн индексами. Число всех комбинаций = числу способов выбора из n испытаний m, в котор соб-е А произошло, т.е. числу сочетаний . Вер-сть каждой такой комбинации (кажд варианта появл-я соб. Вm) по теор умножения для независ-х соб-й =p^mq^n-m, т.к. р(Аi)=p, p(Āi)=q, q=1,2…n. В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, по теор сложения вероятностей получим: Pm,n=(P(Bm)=p^mq^n-m+…+ p^mq^n-m) –складываем раз = p^mq^n-m.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой

26. Как находят наивероятнейшее число наступления событий?

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов   (появлений события) имеет вид:

Так как  , то эти границы отличаются на 1. Поэтому  , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда   целое число ( ) , то есть когда  (а отсюда и  ) нецелое число, либо два значения, когда   целое число.

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь  . Поэтому имеем неравенства:

Следовательно,  .

Неравенства для наивероятнейшего числа успехов   позволяют решить и обратную задачу: по данному   и известному значению р определить общее число n всех испытаний.

27. Локальная теорема Муавра-Лапласа в каких случаях ее применяют.

Аналогом ф Бернулли является локальная ф Муавра-Лапласа, она асимптотическая (ф-ла, точность кот при оценке расм-го параметра возрастает с увеличением аргумента). Локальная теорема Муавра – Лапласа Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<1), событие наступит ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n). , где Р-вер-ть осущ-я события в отдельном испытании, q - вер-ть неосущ-я события в отдельном испытании, n – кол-во испытаний, , m – кол-во испытаний, в кот данное событие имеет место. ф-я явл-ся табличной функцией, наз. Функцией Гаусса. Использование таблиц предполагает правила: 1. ; 2. - убывающая; 3.Четность ; 4.Для всех х>5  .

Используется когда n испытаний велико, а вероятноть р близка к 0 (р≠0; р≠1).