§ 64. Разложение функций в ctErlEhHbIe

РЯДЫ

64.1. РЯДЫ Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в

степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степенного

ряда .

. ~ Как известно (см. T~opeMa 26.1), для любой функции ЛХ), определенной

в окрестности точки ха и имеющей в ней производные до

(n + l)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

f'(xa) г(х о ) 2

f(x) = f(xa) + -,-(х - ха) + -,-(х - ха) + ...

1. 2.

f(n)(xa)

... + ,(х - ха)n + Rn(x), (64.1)

n.

f(n+l)(C)

~ где R.,(x) = (n + 1)! (х - ха)nН, с Е (ха, х), - остаточный член в

форме Лагранжа. Число с можно записать в виде с = Xa+B(X-Хо),

где О < В < 1. Формулу (64.1) кратко можно записать в виде

I f(x) = Рn(Х) + Rn(x), I

где Р,,(х) = f(xo) + P~~o) (х - хо) + ... + f(n~\xo) (х - хо)n - многочлен

Тейлора.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно

дифференцируема) в окрестности точки хо и остаточный член

R.,(x) стремится к нулю при n -t 00 ( lim Rn(x) = О), то из формулы

"--+00

Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (х - хо),

называемое рядом Теi1лора:

f'(xa) 00 f(n)(xo) n

f(x) = f(xo) + --(х - хо) + ... = ~ (х - хо) .

1! ,~,=0 n!

(64.2)

Если в ряде Тейлора положить ха = О, то получим разложение

функции по степеням х в так называемый ряд Ма"к'лорена:

f(x) = ЛО) + f'(O) х + f"(O) х2 + ... = ~ f(n)(O) х".

1! 2! ,~,=0 n!

(64.3)

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой

бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в

окрестности точки ха. Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться

к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или

сходиться, но не к функции f(x). Так, например, функция

f(x) = {е -;.., если х i О,

О, если х = О

имеет в точке х = О производные всех порядков, причем f(n)(O} О

при всяком n (см. пример 19.5). :Ряд Маклорена имеет вид

О О 2 О n 0+ 2Т Х + 2!Х + ... + n!х + ...

Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не f(x).

Пусть для функции f(x) составлен соответствующий ей ряд Тейлора.

Теорема 64.1. Для того чтобы ряд Тейлора (64.2) функции f(x) сходился

к f(x) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке

остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при

n -+ 00, т. е. чтобы lim Rn(x) = О.

n-too

о Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции f(x) внекоторой

окрестности точки ха, т. е. f(x) = lim Sn(x). Так как n-я частичная

n-too

сумма Sn(x) ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора рп(х), т. е.

Sn(x) = рп(х), находим: '

lim Rn(x) = liт и(х) - рп(х)) = lim и(х) - Sn(x)) =

п-400 п--+оо n--+оо

= f(x) - lim Sn(x) = f(x) - f(x) = О.

n-too

Обратно, пусть liт Rn(х) = О. Тогда

n-too

lim Sn(x) = lim рп(х) = lim и(х) - Rn(x)) =

n--+оо п--+оо п--+оо

= f(x) - lim Rn(х) = f(x) - 0= f(x). • n-too

За.м.е'Ча1iuе. Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей

функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда

Тейлора, т. е. Rn(x) = тп(х). (Напомним, что Rn(х) = f(x) - Sn(x),

а тп(х) = S(x) - Sn(x), где S(x) - сумма ряда Тейлора.). .

~ Таким образом, задача разложения функции f(x) в степенной'

ряд сведена по существу к определению значений х, при которых

R.,(x) ---+ о (при n ---+ 00). Если сделать это не просто, то следует какимнибудь

иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится

к данной функции.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает

простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 64.2. Если модули всех производных функций f(x) ограничены

в окрестности точки хо одним и тем же числом М > О, то для

любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к

функции f(x), т. е. имеет место разложение (64.2).

о Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что lim R.,(x) = О.

n--+оо

По условию теоремы 64.2 для любого n имеет место неравенство

If(n)(x)1 ~M. Тогда имеем:

I

f(n+l)(c) I

lim 1R.,(x)1 = lim ( )' (х - xo)n+l ~

n--+оо n--+оо n + 1 .

. I (х - хо)n+l I . I (х - хо)n+l I ~ 11т М· = М· 11т .

n--+оо (n + 1)! n--+оо (n + 1)!

I (х - х )n+ll Осталось показать, что J~~ (n +\)! = О. ДЛЯ этого рассмотрим

Ряд

00 I(x _ хо)n+l1

~ (n + 1)! .

Так как

,. иn+l \. Ix- x oln

+

2

· (n+1)! I I ,. 1 О 1

1т -- = 1т = х - хо . 1т -- = <

n--+оо иn n--+оо (n + 2)! . Ix - xol n+l n--+оо n + 2 '

то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но

тогда, в силу необходимого признака сходимости,

li

. ,. Ix - xol n+l

m иn = 1т = О.

n--+оо n--+оо (n + l)!

Следовательно, lim Rn(x) = О.

n--+оо

64.2. Разложение некоторых элементарных функций

в РЯД Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена (64.3) нужно:

а) найти производные Г(х) , f"(x), ... , f(n)(x), ... ;

б) вычислить з начения производных в точке хо = О;

• в) написать ряд (64.3) для заданной функции и наЙТ~J его интервал

сходимости;

г) найти интервал (-R; R), в котором остаточный член ряда Маклорена

Rn(х) --7. О при n -+ 00. Если такой интервал существует, то в

нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

3а.ме'Ч.анuе. В интервале сходимости степенного ряда остаточный

член стремится к нулю при n -+ 00.

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых

элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

х х 2 хn

еЖ = 1 + 1" + , + ... + f + .. . , 1. 2. n.

х Е (-00; (0),

(64.4)

х 3 х5 х2n + 1

siпх=:t-з-, +,_ . . . +(_1)n( ),+ . .. , ХЕ(-ОО;ОО),

. 5. 2n + 1 .

(64.5)

Х Е (-00; (0) ,

(64.6)

(1 )

"'-1 ~ 0'(0'-1) 2 0'(0'-1) .. . (0'-n+1) n + Х - + ,х + 2' Х + ... + , х + ... , 1.. n .

если о' ~ О ,

если -1 < о' < О, (64.7)

{

[-1; 1],

Х Е (-1: 1],

(-1,1), если 0' :::; -1,

1 2 n

--=l+х+х + ... +х + ... ,

1-х

ХЕ(-l;l), (64.8)

х2 х 3 хn + 1

'п(1 + х) = х - - + - - ... + (_1)n __ + ... , Х Е (-1; 1], (64.9)

2 3 n + 1

х3 х 5 х 2n + I

arctgx = х - 3 +5 - ... + (_1)n 2n+ 1 ... , Х Е [-1; 1] , (64.10)

1 х3 1 . 3 х 5 1 . 3 . 5 х 7

arcsinx = х + - . - + _ . - + --. - +... (64.11)

2 3 2 · 4 5 2 · 4·6 7

1 . 3 . 5 . . . (2n - 1) х2n +1 ... + ( ) .--+ ... , XE[-l; l], (64.12)

2 . 4 . 6 . .. 2n 2n + 1

х 3 х5 х 2n + I

shx=x+3. ,+5,. + ... +( 2n + 1) .1 + ' '' ' ХЕ(-ОО; ОО),

(64 .13)

х Е (-00;00).

(64.14)

Докажем формулу (64.4). Пусть f(x) = еХ • О Имеем:

а) 1'(х) = еХ , f"(x) = еХ , • . •, f(n)(x) = е Х , • . •;

б) f(O) = 1, 1'(0) = 1, ... , f(n)(O) = 1, ... ;

) Х 1 х х2 х" ' R- ,. !~!_ ,. !(n+l)!!_ в е ~ +-1.'+-.2' + . .. +n,.+ . . . , - 1т - 1т , - п ..... оо а п +1 п ..... оо n.

= liт (n + 1) = 00, т. е. ряд сходится в интервале (-00; 00);

п-+оо

г) для всех х Е (-R; R) имеем If(n)(x)1 = еХ < eR = М, т. е.

все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом

М = eR . Следовательно, по теореме 64.2 'im Rn(х) = О. Таким обра-

п ..... оо

2

зом, еХ = 1 + П + 2! + . . . • Докажем формулу (64.5). Пусть f(x) = sinx.

О Имеем :

а) 1'(х) = cosx = sin(x + ~), f"(x) = -siпх = sin(x + 2· ~) ,

f ll1х( )-- - cos х -- s'ш (х +3 . "72Г ) ' ... , f(n)х ()- -s' ш (х+ n '"27Г ) ... ,.

{ О, n = О, 2, 4, 6, ... ,

б) f(n)(O) = sin 7Г2n = -1, n: 3,7, 11, .... '

+1, n - 1, 5, 9, ... ,

. х 3 х5 n х2n + 1

в) SШХ ~ Х - 3т + 5т - ... + (-1) . (2n + 1)! + ... Легко прове-

рить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех

х Е (-00; 00);

г) любая производная функции f(x) = sinx по модулю не пре-

восходит единицы, и(11) (x)1 = ISin(x + n.~)! ~ 1. Следовательно, по

теореме 64.2 имеет место разложение (64.5). • Докажем формулу (64.6). Пусть f(x) = cosx.

о Формулу (64 .6) можно доказать так же, как и формулу (64.5). Однако

проще получить разложение функции cos х, воспользовавшись свойством

3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (64.5),

получим:

х2 х4

cos Х = 1 - - + - - ... ,

2! 4!

х Е (-00;00). • Докажем формулы (64.13), (64.14). Пусть f(x) = chx (или

f(x) = sh х).

о Заменив в формуле (64.4) х на -х , получим разложение функции

е- Х :

х х2 ХЗ х4 хn

е- Х = 1- _ + ___ + _ - . .. + (_1)n. - + ...

1! 2! 3! 4! n!'

(64.15)

справедливое для всех х Е (-00; 00 ).

Суммируя (и вычитая) почленно равенства (64.4) и (64.15) , получим

разложение гиперболического косинуса (синуса):

еХ + е- Х х 2 х 4

сЬх= 2 =1+ 2Т + 4Т + ... , ХЕ(-ОО;ОО),

х Е (-00;00) .

Формулы (64 .13) и (64.14) доказаны . • Докажем формулу (64.7). Пусть J(x) = (1 + х)О', где а Е IIt

О Имеем:

а) I'(х) = а(1 + x)O'-i, j"(x) = а(а - 1)(1 + х)0'-2, ... ,

j(n)(x) = а(а - 1) .. . (а - (n - 1))(1 + x)O'-n, ... , n Е N;

б) j(O) = 1, 1'(0) = а , j"(O) = а(а - 1), ... ,

j(n)(O) = а(а - 1) ... (а - n + 1), ... ;

) ( )

0' а(а - 1) 2

В 1 + х ~ 1 + ах + 2! х + ...

... + а(а - 1)(а - 2),'" (а - n + 1)хn + ... ;

n.

г) R-lim I~I-lim 1 а(а-1)(а-2) ... (а-(n-1)) · (n+1)! 1-

-n-+ОО аn+l -n-+ОО n!·а(а-1)(а-2) ... (а-(n-1))(а-n) -

= lim 1 n+ 1 1 = 1, т. е. составленный для функции (1 +х)О' ряд сходится

n-+оо а-n

в интервале (-1; 1).

Можно показать, что и в данном случае, т. е. при х Е (-1; 1), оста-

точный член Rn(x) стремится к нулю при n --+ 00. • Ряд (64.7) называется бu1-tомuалыtъtМ. Если а = n Е N, то все члены

ряда с (n + 1)-го номера равны О, так как содержат множитель

а - n = n - n = О. в этом случае ряд (64.7) представляет собой известную

формулу бинома Ньютона:

(1 )n _ !!:. n(n - 1) 2 n(n - 1) . .. 1 n

+х -1+ 1 .,х+ 2'. х + .. . + n ,. х .

Докажем формулу (64.8). Пусть j(x) = 1 ~ х '

О Формула (64.8) может быть полу чена разными способами:

1) ПОJlЬЗУЯСЬ правилом разложения функции в ряд;

2) рассматривая ряд 1 + х + х 2 + х3 + ... + хп + . .. как ряд геометрической

прогрессии, первый член которой равен единице и знаменатель

q = х; известно (см. пример 62.1), что данный ряд сходится при

х Е (-1; 1) и его сумма равна -11 ;

-х

3) воспользовавшись формулой (64.7): положив в ней й

заменив х на -х, получим формулу (64.8).

Докажем формулу (64.9). Пусть f(x) = ln(l + х).

-1 и • Формула (64.9) также может быть доказана разными способами.

Приведем один из них.

Q Рассмотрим равенство

_1_ = 1 _ х + х2 _ х3 + ... + (_l)ПхП + ... ,

l+х

справедливое для всех х Е (-1; 1). Используя свойство 4 степенных

рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [О;х], х Е (-1; 1):

или

х2 х3 хп +!

ln(l + х) = х - - + - - ... + (_1)П __ + ...

2 3 n + 1

Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1. • Докажем формулу (64.10). Пусть J(x) = arctgx.

о Положив в формуле (64.7) й = -1 и заменив х на х2 , получим

равенство

1 1 2 4 ( 1)П 2п --2 = -х +х - ... + - ·х + ... ,

l+х

х Е (-1; 1).

Тогда

или

х 3 х5 х2п +!

arctg х = х - - + - - ... + ( -1) n --+ ...

3 5 2n + 1

Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при

всех х Е [-1; 1]. • Докажем формулу (64.12). Пусть f(x) = arcsinx.

о Положив в формуле (64.7) а = -! и заменив х на (_~2), получим

равенство

или

1 х 2 1 . 3 4 1 . 3 . 5 б

~=1+2+2'4X +2.4.6 Х + ... , xE[-l;l].

Тогда

Х 1 х х t2 Х 1 . 3 4 J ~dt = J dt + J 2' dt + J 2.4 t dt + ... ,

о 1-t о о о

1 х3 1· 3 х 5

arcsin х = х + - . - + -- . - + ...

2 3 2·4 5

Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех

х Е [-1; 1]. • Ряды (64.4)-(64.14) в комбинации с правилам и сложения, вычитания,

умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов

(см. свойства степенных рядов) могут быть использованы при разложении

(некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора).

Пример 64.1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = 3 Х • Q Решение: Так как 3 Х = e1n 3' = е Х In 3, то, заменяя х на х lп 3 в разложении

(64.4), получим:

Х lп 3 lп2 з 2 Iп3 3 3 Iпn 3 n

3 = l+l!x+~x +т!х + ... +~x + ... , х Е (-00;00) .• Пример 64.2. Выписать ряд Маклоренафункции f(x) = Iп(4-х),

Q Решение: Так как

f (х) = Iп( 4 - х) = lп 4 (1 -~) = Iп 4 + Iп [ 1 + ( - ~) ] ,

то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой заменим х на (-~),

получим:

или

, 1 1 х2 1 x n+1

lп(4 - х) = lп4 - -х - _. - _ ... - -_. -- - ...

4 42 2 4n +1 n + 1 '

если -1 < -~ ~ 1, т. е. -4 ~ х < 4. • 47

Прu.мер 64.3. Разложить в ряд Маклорена функцию

2

f(x) = -3 -.

-Х

Q Решение : Воспользуемся формулой (64 .8). Так как

2 2

f(x) = -- = -~~

3-Х 3·(1-~)

2 1

:3. 1- ~'

3

ТО,заменив Х на f в формуле (64.8), получим :

_2 = ~ . (1 + ~ + (~) 2 + (~) 3 + ... ),

3-Х 3 3 3 3

или

2 2 2 Х 2 х 2 2 х2 2 х3 2 х n

3 - Х = :3 + :3 . :3 + :3 . з2 + :3 . з2 + :3 . з3 + ... + :3 . 3" + ... ,

где -1 < f < 1, т. е. -3 < Х < 3.