- •Методические указания
- •Составитель
- •Рецензент
- •4. Корреляционная функция с.П.
- •8. Стационарные случайные процессы.
- •9. Эргодическое свойство стационарного случайного процесса.
- •10. Спектральное разложение стационарного случайного процесса.
- •11. Преобразование стационарного с.П. Стационарной линейной динамической системой.
- •Решения задач
- •Так как функция – четная, то, доопределив полученную функцию по четности на интервале (; 0), получим.
- •Найдем взаимную корреляционную функцию по свойству 7) п.8
- •Решение. А) Обозначим . Тогда по формуле (5) п. 8 имеем
- •По формуле (5) имеем
- •Решение. По формуле 1) п. 11 найдем математическое ожидание
- •Табличные интегралы
- •Сведения из теории вычетов.
4. Корреляционная функция с.П.
Пусть центрированный с.п.
Корреляционной функцией с.п.X(t) называется неслучайная функция от двух аргументовt1,t2
.
Нормированной корреляционной функцией с.п. X(t) называется неслучайная функция
.
Свойства корреляционной функции с.п.ПустьX(t)случайный процесс,U случайная величина,φ(t)неслучайная функция.
.
.
, .
5. Взаимная корреляционная функция с.п. ПустьX(t),Y(t)случайные процессы.Взаимной корреляционной функцией с. п. X(t),Y(t) называется неслучайная функция от двух аргументовt1,t2
.
Два с.п. X(t),Y(t) называютсянекоррелированными, если
.
Нормированной взаимной корреляционной функцией с.п. X(t),Y(t) называется неслучайная функция
.
Свойства взаимной корреляционной функции.ПустьX(t),Y(t)случайные процессы,φ(t),ψ(t)неслучайные функции.
.
.
Теорема.Если , то
.
Следствие.Если и с. п. попарно некоррелированы, то
.
Для двух случайных процессов и теорема и следствие выглядят следующим образом.
. (1)
Если с.п.и некоррелированы, то
. (2)
6. Характеристики производной случайного процесса. ПустьX(t)случайный процесс, его производная. Тогда верны следующие свойства.
.
.
, .
Замечание. Рекомендуем ознакомиться с понятиями предела, производной и интеграла в среднеквадратическом смысле в пособиях /2,5,8/.
7. Характеристики интеграла от случайного процесса.ПустьX(t)случайный процесс,
.
Тогда выполняются следующие свойства.
.
.
, .
8. Стационарные случайные процессы.
С.п. X(t) называетсястационарным(в широком смысле), если его м. о. постоянно, а корреляционная функция зависит только от .
Таким образом,
= const, (3)
, где . (4)
Два стационарных с.п.X(t) иY(t) называютсястационарно связанными, если взаимно корреляционная функция , где.
Основные свойства и формулы для стационарных с.п. ПустьX(t)стационарный случайный процесс.
= const.
.
четность функции.
, где нормированная корреляционная функция с.п.X(t).
Характеристики производной стационарного случайного процесса. ПустьX(t)дифференцируемый стационарный с.п. Тогда
стационарный случайный процесс.
.
.
, –истационарно связаны
Характеристики интеграла от стационарного случайного процесса. ПустьX(t)интегрируемый стационарный с.п. и . Тогда
.
.
, .
Рассмотрим функцию. Тогда по свойству 9) имеем
. (5)
Заметим, что функция I(t) – четная, а для функции выполняется соотношение . Это можно доказать, сделав замену переменной = –s в обоих интегралах I(–t) и .
9. Эргодическое свойство стационарного случайного процесса.
Определение. Стационарный с.п. X(t) называетсяэргодическим относительно математического ожиданияmX , если для любой его реализации
. (6)
Стационарный с.п X(t) называетсяэргодическим относительно корреляционной функции kX(τ), если для любой его реализации
. (7)