- •Полные статистики.
- •Свойства условных математических ожиданий.
- •Теорема о построении эффективных оценок
- •Алгоритм нахождения эффективных оценок
- •Неравенство Рао-Крамера. Теорема Рао-Крамера
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Пример 3.
- •Лемма Неймана-Пирсона ( нерэндомизированный вариант).
- •Лемма Неймана-Пирсона ( рэндомизированный вариант).
- •Статистика
- •Критерий
- •Критерий согласия Пирсона
- •Статистика критерия
- •Правило критерия
- •28) Критерий согласия Пирсона (Хи-квадрат)
- •Поведение, когда гипотезаверна.
- •Поведение, когда гипотезаневерна.
- •Критерий проверки.
- •Границы применимости критерия на практике.
- •Доверительный интервал и примеры. Доверительный интервал.
- •Примеры
- •Общая задача дисперсионного анализа.
- •Однофакторный, двуфакторный дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ
- •Двуфакторный дисперсионный анализ
- •Байесовская классификация.
- •Дискриминантный анализ
Статистика
Эмпирическая функция распределения (ЭФР) случайной величины , построенная по выборке , имеет вид:
где указывает, попало ли наблюдение Xi в область :
Статистика критерия для эмпирической функции распределения определяется следующим образом:
где — точная верхняя грань множества .
Критерий
Обозначим нулевую гипотезу , как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:
Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.
|
Правило (параметрический критерий Колмогорова).Если статистикапревышаетквантильраспределения Колмогоровазаданногоуровня значимости, то нулеваягипотеза(о соответствии закону) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне. |
|
Если достаточно велико, то можно приблизительно рассчитать по формуле:
Асимптотическая мощность критерия равна 1.
Обозначим теперь за нулевую гипотезу гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины .
|
Теорема Смирнова.Пусть— эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмомnиmслучайной величиныξ. Тогда, если, то, где. |
|
Теорема Смирнова позволяет использовать данный критерий для проверки двух выборок на однородность.
|
Правило (непараметрический критерий Колмогорова).Если статистикапревышаетквантильраспределения Колмогоровазаданногоуровня значимости, то нулеваягипотеза(об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне. |
2)Критерии Колмогорова и Смирнова, о которых идет речь ниже, очень широко применяются в случае непрерывных функций распределения.
Мы ограничимся лишь рассмотрением случая простой гипотезы
Основой всех методов является рассмотрение некоторой удачно выбранной меры расхождения между выборкой и гипотетическим распределением, а также возможность описать асимптотическое распределение этой меры расхождения при росте объема выборки. В случае критерия Пирсона этой мерой расхождения была функция .
Для критериев Колмогорова и Смирнова выбор меры расхождения связан с эмпирической функцией распределения (см. Определение 6.1). А именно, рассматриваетсястатистика Колмогорова
и статистика Смирнова
соответственно. Замечательно то, что эти функции легко могут быть вычислены по выборке (не требуется брать какие-либо интегралы, все сводится к простым выражениям, содержащим конечное суммирование и взятие максимума, см., например, 10.2 в [13]).
Коснемся вопроса об асимптотическом распределении этих функций. По теореме Гливенко (см. (28)) при выполнении гипотезы статистика стремится к нулю при. Оказывается, что если ее домножить на , то в пределе получится нетривиальное распределение. Более точно, верна теорема Колмогорова: Если гипотеза верна и непрерывна, то
распределение статистики является одним и тем же для любой функции распределения и
у последовательности существует предельное распределение при .
Это предельное распределение не совпадает ни с одним упоминавшемся здесь ранее и носит название распределения Колмогорова.
Аналогичное по характеру утверждение имеет место и для статистики Смирнова, а именно, при верной гипотезе и непрерывной
распределение зависит только от и не зависит от ,
у последовательности существует предельное распределение при .
Теоремы Колмогорова и Смирнова являются основой для построения соответствующих критериев согласия с критическими множествами вида
и
соответственно. Числа определяются по заданным уровням значимости из таблиц допредельных (или предельных, если очень велико) распределений Колмогорова и Смирнова.
Билет №28