Финансовая математика:
18.Процентная ставка. Будущая стоимость денег.
Вся
финансовая математика базируется на
предположении, что деньги со временем
изменяют свою стоимость. Поэтому
финансовую математику называют еще
теорией стоимости денег во времени.
Обладатель
денег может инвестировать их в различные
проекты с целью получения дохода в
будущем. Очевидно, что инвестор ожидает
получить сумму, превосходящую его
вложения, то есть, предполагает, что
деньги будут расти со временем.
Одним
из способов получения дохода с определенной
суммы денег является помещение этой
суммы на банковский счет. В данном случае
владелец денег выступает как кредитор.
Пусть сумма, вложенная в банк равна PV.
Тогда через год у владельца этих денег
на счете будет сумма
где
i – процентная ставка банка.
PV – сумма, которой владелец обладает сегодня
FV-сумма кот.получит владелец спустя опр. время.
Существует
два способа начисления процентов: по
простой процентной ставке и по сложной.
При
начислении дохода по простой процентной
ставке iпр доход каждый раз начисляется
на первоначально вложенную сумму. То
есть, через год доход составит iпр∙PV,
через два года 2∙i∙PV, через 5 лет –
5∙i∙PV, через n лет – n∙i∙PV. Таким образом,
при начислении дохода по простой
процентной ставке, через n лет на счете
у владельца будет сумма
. (1)
Другим
способом начисления дохода является
использование сложных процентных
ставок. При начислении дохода по сложной
процентной ставке, доход начисляется
не на первоначальную сумму, а уже на
накопленную сумму. Можно считать, что
промежуточные доходы в этом случае
также инвестируются, или, как говорят,
происходит начисление процента на
процент. Если в конце первого года сумма
на счете составляла PV∙(1+i), то в конце
второго года она составит PV∙(1+i)2, в конце
третьего года – PV∙(l+i)3 и т.д. По прошествии
n лет сумма на счете владельца
составит:
. (2)
19.Номинальная и эффективная процентная ставки.
Величина 1+i показывает, во сколько раз выросла сумма за один год. Такая процентная ставка называется эффективной (обозн.буквой i). В действительности, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежеквартально (четыре раза в году), ежемесячно (12 раз в году), ежедневно (365 раз в году) и т.д. В этом случае мы имеем дело со сложной номинальной процентной ставкой j.
Рассмотрим пример, когда проценты начисляются ежемесячно. Тогда через месяц на счете у владельца будет сумма PV*(1+i/12)
где i – процентная ставка банка.
PV – сумма, которой владелец обладает сегодня
FV-сумма кот.получит владелец спустя опр. время.
В течение следующего месяца проценты начисляются на эту сумму, поэтому в конце второго месяца сумма на счете составит PV*(1+i/12)² Через три месяца PV*(1+i/12)³и т.д. Т.о, через год сумма на счете составит: FV=PV*(1+i/12)¹². (3) С другой стороны, последнее соотношение можно записать, используя эффективную процентную ставку i: FV= PV*(1*i) . (4) Приравнивая (3) и (4), получаем связь между эффективной и номинальной процентными ставками (при начислении процентов 12 раз в году) i=(1+ i/12) ¹²-1 . (5)