- •31. Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида
- •33. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида
- •34. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
- •Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •39. Пусть дан ряд
31. Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида
F (x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n)(x)) = 0,
где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.
Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:
y(n) = f(x, y, y ', y '', … , y(n − 1)).
Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.
Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения
F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, x>x0,
удовлетворяющего условиям
y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
Условия y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1 называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.
Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, называется частным решением.
Общим решением дифференциального уравнения
F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0
называется функция
y = Ф(x, С1, С2, … , Сn),
содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, … , Сn, и обладающая следующими свойствами:
Ф(x, С1, С2, … , Сn) является решением уравнения при любых допустимых значениях С1, С2, … , Сm;
для любых начальных данных y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1,для которых задача Коши имеет единственное решение,существуют значения постоянных С1 = A1, С2 = A2, … , Сn = An, такие что решение y = Ф(x, A1, A2, …, An) удовлетворяет заданным начальным условиям.
Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x, y) = 0 или G(x, y, С1, С2, ..., Сn) = 0.
Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интеграломуравнения.
32. Линейным однородным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.
Коэффициенты уравнения an-1(x), an-2(x), ..., a1(x), a0(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] .
Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка:
L(y) ≡ y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y.
L(y) = 0 — однородное уравнение в операторной записи.
При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a;b] — пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций, и Ck [a;b] — пространство функций, непрерывных на [a;b] , вместе со своими производными до k –го порядка включительно.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0.
Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа.
Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx).
Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:
y(x) = exp(λx),
y'(x) = λexp(λx),
y''(x) = λ2exp(λx),... ,
yn(x) = λnexp(λx),
λnexp(λx) + an-1λn-1exp(λx) + ... + a1λexp(λx) + a0exp(λx) = 0,
exp(λx)(λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0) = 0.
Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда
λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.
Уравнение λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0 называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени Pn(x) = λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0называется характеристическим многочленом уравнения.
Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера).
Для того чтобы функция y(x) = exp(λ0x) была решением уравнения y(n) + an-1y(n - 1) + ... +a1y' + a0y = 0, необходимо и достаточно, чтобы число λ0 было корнем характеристического уравнения λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.
Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.
Если числа λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn — различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ1x), exp(λ2x), ..., exp(λnx) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:
y(x) = C1exp(λ1x) + C2exp(λ2x)+ ...+ Cnexp(λnx).
Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплекснымичислами, могут быть простыми и кратными.
Справедливы следующие утверждения.
Если числа λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn — различные действительные корни характеристического уравнения , то функции
exp(λ1x), exp(λ2x), ..., exp(λnx) образуют фундаментальную систему решений уравнения.
Если λ = λ0 — действительный корень характеристического уравнения кратности r, то rфункций
exp( λ0x), xexp( λ0x), x2exp( λ0x), ..., xr-1exp( λ0x) — линейно независимые решения уравнения.
Если λ = λ0 = α ± βi — комплексно сопряженная пара корней характеристического уравнения, то функции
exp( α x)cos(βx), exp( α x)sin(βx) — линейно независимые решения уравнения.
Если λ = λ0 = α ± βi — комплексно сопряженная пара корней характеристического уравнения кратности r , то 2r функций
exp( α x)cos(βx), exp( α x)sin(βx), xexp( α x)cos(βx), xexp( α x)sin(βx), ..., xr-1exp( αx)cos(βx), xr-1exp( α x)sin(βx) — линейно независимые решения уравнения.