11.4.4.Оценка стоимости американских опционов в условиях биноминальной модели

Рассмотрим американские опционы колл и пут на активы с постоянной дивидендной доходностью q, цена исполнения которых X, а дата истечения T.

Предположим, что цена исходных активов на временном промежутке [t,T] определяется n-этапной биноминальной моделью.

Будем считать, что рынки удовлетворяют следующим условиям:

• являются совершенными;

• можно неограниченно кредитовать и брать ссуды под безрисковую процентную ставку, которая не меняется с течением времени;

• отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

Обозначим через и стоимости американских опционов колл и пут соответственно в момент времени t+kh, при улови, что опцион не исполняется до этого момента, а цена исходных активов поднималась i раз (k= 0,1,2, …n, i= 0,1,2,3,…k).

Очевидно, что имеют место следующие равенства:

Рассмотрим теперь момент времени t+kh. Если до этого момента цена исходного актива поднималась I раз, то в момент времени t+kh она примет значение z. Кроме того, в этом случае стоимость американского опциона колл будет равна:

где

Следовательно, принимая решение об исполнении американского опциона колл в момент t+kh, держатель опциона будет сравнивать возможные доходы:

z-X и

Таким образом, если допустить, что американский опцион колл может исполнятся только в моменты t, t+h, t+2h, …, t+nh = T, то имеют место следующие равенства:

[59]

k = 0, 1, 2, 3, …, n-1

i= 0,1,2,3,…k

Аналогично, если американский опцион пут может исполняться только в узлах биномиальной модели, то должны выполняться следующие равенства:

[60]

k = 0, 1, 2, 3, …, n-1

i= 0,1,2,3,…k

Пример. Дан трехмесячный американский опцион пут на акцию с постоянной дивидендной доходностью 8%, цена исполнения которого равна 60 долл.

Оцените стоимость опциона, если цена исходной акции определяется трехэтапной биноминальной моделью с параметрами u = 1,14 и d = 0,88, когда текущая цена акции 60 долл., а безрисковая процентная ставка одинакова для всех сроков, не меняется во времени и равна 10%.

Решение. В данном случае Х = 60 , S = 60, T-t = 3/12, h = 1/12, r = 0,1, q=0,08.

Приведем примеры расчетов.

Рис. 27. Биноминальная модель и стоимость опциона

Таким образом, стоимость американского опциона «пут» равна 5,6 долл.

Тема 12. Управление портфелем облигаций

12.1. Сущность облигаций

В настоящее время на мировом рынке ценных бумаг более 50% их общей стоимости приходится на облигации, преобладающая часть которых эмитируется государствами.

Исторически появление облигаций в XVI в. во Франции было вызвано тем, что ортодоксальная церковь жестоко преследовала ростовщиков. Остроумный способ избежать преследования был найден в выпуске облигации, что позволяло трактовать действия кредитора (заимодавца) не как ростовщическую операцию (дачу денег в рост), а как покупку потока доходов.

Облигация – это ценная бумага, выпуск которой в обращение сопровождается соглашением о займе. Заемщик продает облигацию кредитору за определенную сумму: облигация, в сущности, представляет собой долговую расписку заемщика. Такое соглашение обязует эмитента облигации осуществлять заранее оговоренные выплаты ее держателю

Облигация выражает следующие обязательства эмитента:

• вернуть сумму займа в означенный срок;

• выплатить доход по облигации;

• осуществить выплаты в означенный в условиях эмиссии срок

Обязательства эмитента делают принципы обращения облигации похожими на принципы кредита: возвратность, срочность, платность.

Многолетняя история развития фондового рынка в России и за рубежом свидетельствует, что к облигационным займам как способу привлечения средств на определенное время за некоторое вознаграждение обращаются и государство, и территории, и компании.

Основными преимуществами облигационных займов как инструмента привлечения инвестиций с позиций эмитента являются:

• мобилизация значительных объемов денежных средств и фи­нансирование крупномасштабных проектов и программ без угрозы вмешательства инвесторов (владельцев долговых ценных бумаг) в управление делами эмитента;

• привлечение денежных средств широких слоев частных инве­сторов (населения), корпоративных и институциональных инве­сторов (юридических лиц);

• возможность маневрировать при определении характеристик займа, поскольку все параметры облигационного займа (объем, сроки, величина процентной ставки, условия выпуска, обращения и погашения и т.д.) эмитент определяет самостоятельно;

• привлечение денежных средств на более выгодных (льготных) условиях, чем банковские кредиты;

• обеспечение оптимального сочетания интересов заемщиков и кредиторов с точки зрения доходности, ликвидности и сроков обращения;

• оптимизация взаиморасчетов, структуры дебиторской и кре­диторской задолженности эмитента.

Долговые и долевые бумаги, имея единую цель – привлечение свободных средств юридических и физических лиц, отличаются не только по отражаемым экономическим отношениям между эмитентом и инвестором, но и по возможности возврата инвестированного капитала, статусу держателя ценных бумаг, сроку обращения финансовых инструментов, порядку выплаты дохода, объему прав инвестора, номиналу бумаги, эмитентам.

К фундаментальным свойствам облигаций относятся следующие:

• облигация – эмиссионная ценная бумага, т.е. обладает харак­теристиками, которые были отмечены при рассмотрении акций: закрепляет совокупность имущественных и неимущественных прав, подлежащих удостоверению, уступке и безусловному осуществлению в соответствии с действующим порядком; размещается выпусками; имеет равные объемы и сроки осуществления прав внутри одного выпуска вне зависимости от времени приобретения ценной бумаги;

• облигация – это удостоверение займа, долговая ценная бума­га, где участвует два лица: эмитент (заемщик, должник) – инвестор (кредитор);

• облигация – это гасимая, т.е. срочная, ценная бумага, имею­щая срок обращения, по окончании которого она выкупается эми­тентом, как правило, по номинальной стоимости;

• облигация – более приоритетная ценная бумага по сравне­нию с акциями, что проявляется в первоочередном получении дохода (процент по облигациям начисляют и выплачивают до выплаты дивидендов) и удовлетворении требований владельцев облигации по сравнению с владельцами акций при ликвидации предприятия-эмитента;

• облигации не дают право на участие в управлении предпри­ятием-эмитентом, т.е. облигационеры не совладельцы, а только кредиторы;

• облигации являются наиболее подверженными инновациям, Благодаря постоянно вводимым новшествам облигации становятся все более разнообразными и удобными финансовыми инструментами. В целом все развитие облигационного рынка в послевоенный период можно охарактеризовать как обретение облигациями гибкости, причем маневренность увеличивается как у эмитентов, так и у инвесторов.

Долговые бумаги классифицируются по многим признакам, как и акции: эмитенту, целевому назначению, регистрации владельца, форме представления, способу выплаты дохода, представлению номинала, возможности перепродажи на вторичном рынке и досрочного погашения, форме и методу погашения, конструкции займа и др.

В зависимости от эмитента различают следующие виды облигаций:

• государственные, выпускаемые федеральным правительством и субъектами федерации; являясь государственными облигациями, бумаги, эмитированные субъектами федерации, называются субфедеральными',

• муниципальные, выпускаемые органами местного самоуправления;

• корпоративные, эмитируемые предприятиями;

• институциональные, выпускаемые за рубежом некоммерческими организациями (церквями, школами, больницами и т.д.);

• иностранные, эмитент которых является нерезидентом по отношению к инвесторам данной страны;

• еврооблигации, у которых эмитент является нерезидентом к инвесторам ряда стран.

По срокам обращения облигации делят на краткосрочные (срок обращения до 1 года), среднесрочные (срок обращения от 1 года до 3-5 лет) и долгосрочные (срок обращения от 5 до 30-40 лет).

По форме выпуска облигации бывают документарные и бездокументарные, существующие в виде записей на счетах депо. По причине достаточно высоких издержек по изготовлению и хранению сертификатов ценных бумаг второй способ становится все более распространенным.

По характеру идентификации владельца облигации выпускаются именными и предъявительскими. При эмиссии именных облигаций ведется реестр владельцев именных ценных бумаг, и регистрируются все операции, совершенные владельцами облигаций. В мировой практике постепенно отказываются от выпуска предъявительских облигаций в связи с возможностью фи­нансовых нарушений при учете операций с ними. В США, например, выпуск предъявительских облигаций прекращен с 1983 г.

По способу выплаты дохода различают дисконтные и процентные облигации.

Дисконт – доход владельца, который образуется за счет разницы между номинальной стоимостью облигаций, выплачиваемой эмитентом владельцу при погашении облигации, и ценой ее покупки, которая при этом всегда ниже номинала. Дисконтные облигации – это облигации с «нулевым купоном», т.е. облигации, по которым процент не начисляется, а доход складывается из разницы между ценой гашения и ценой приобретения. То есть, если говорят, что облигации продаются с дисконтом, то это означает, что цена ее продажи ниже цены, по которой облигация будет гаситься.

Дисконтными бывают, как правило, краткосрочные облига­ции, доход в форме дисконта выплачивается владельцу облигации только один раз при погашении бумаги. Наиболее известными дисконтными отечественными облигациями являются ГКО – государственные краткосрочные бескупонные облигации.

Процент – доход, выражаемый в денежных единицах, составляющий определенную долю в процентах от номинальной стоимости и выплачиваемый владельцу облигации в течение срока ее обращения. При этом купонная ставка может быть переменной, плавающей и фиксированной.

Часть ценной бумаги (облигации), дающая право на получение регулярно выплачиваемого процентного дохода по ней, называется купоном. Исторически сложилось, что при эмиссии облигаций к ним прилагались купоны с указанием на них величины процентного дохода и даты выплаты дохода. Для получения дохода владелец облигации должен предъявить облигацию с купонами, при этом купон отстригается (гасится), что означает факт получения владельцем облигации процентов, иначе «стрижки купонов».

Проценты могут выплачиваться как по краткосрочным, так и по средне- и долгосрочным облигациям. Период выплаты процентов составляет квартал, полугодие, чаще год. В условиях эмиссии независимо от периодичности выплаты процентов процентная, или купонная, ставка объявляется годовой.

Купонная ставка может быть фиксированной и переменной (плавающей). Фиксированная ставка в условиях выпуска объявляется конкретным числом, выражается в процентах. Примером про­центных облигаций с фиксированной ставкой служат облигации внутреннего государственного валютного займа (ОВГВЗ), по которым доход выплачивается ежегодно по ставке 3%.

Алгоритм оценки облигаций:

1. Определяем срок до погашения облигации (n);

2. Определяем будущие поступления по облигации:

2.1. Купонные платежи ( )

2.2. Стоимость к погашению (CF)

3. Определяем желаемый уровень доходности.

4. Производим расчет равновесного курса облигации:

[61]

5. Принятие решения об инвестировании.

Внутренняя доходность облигации

Годовой внутренней доходностью облигации при начислении процентов m раз в год называется положительное число r=r(m), удовлетворяющее следующему условию:

[62]

где - платеж, выполняемый через лет от текущего момента;

i = 1, 2, …, n

Другими словами, внутренняя доходность облигации – это такая доходность, при которой рыночная цена облигации равна приведенной стоимости будущих платежей по ней.

Методика расчета внутренней доходности сходна с методикой расчета IRR в инвестициях.

Пример. Дана облигация, по которой должны выплачиваться денежные суммы: 10,10 и 110 долл. соответственно через 1, 1,5 и 2 года. Определить внутреннюю доходность облигации при начислении процентов один раз в год, если текущая рыночная стоимость облигации составляет 100 долл.

Решение.

Составим уравнение:

или

В данном случае внутренней доходностью облигации будет такая ставка, при которой будет выполняться данное равенство. В нашем случае равенство выполняется при r = 14,98%.

Решая данное равнение, находим точное значение внутренней доходности облигации. Если такая точность не нужна, можно воспользоваться формулой:

[63]

где N – номинал облигации;

P – рыночная стоимость облигации;

с – купонная ставка (в %-ах от номинала);

Т – период обращения облигации в годах.