Углы и треугольники

1)Углы, измерение углов. Виды углов. Смежные углы, их свойство. Вертикальные углы, их свойства.

Угол – геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Угол делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю области угла.

Градус – угол, равный 180 части развернутого угла.

Развернутый угол – угол, обе стороны которого лежат на одной прямой.

Смежные углы – 2 угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма градусных мер смежных углов равна 180 градусов.

Вертикальные углы – углы, в которых стороны одного угла являются продолжениями другого. Вертикальные углы равны, что доказывается через свойство смежных углов.

2)Треугольники, их виды по углам и сторонам.

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих эти точки.

Остроугольный треугольник – треугольник, в котором все углы острые.

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой, а два остальных – острые.

Тупоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол тупой, а два других – острые.

Равнобедренный треугольник – треугольник, две стороны которого равны между собой.

Равносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого равны.

3)Признаки равенства треугольников.

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

1.Рассмотрим треугольники ABC и А₁В₁С₁, у которых АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, углы А и А₁ равны. Докажем, что ABC и А₁В₁С₁ равны.

2.Так как угол А равен углу А₁, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁С₁ и А₁С₁ соответственно.

3.Поскольку АВ = А₁В₁ и АС = А₁С₁, то при наложении АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторона АС – со стороной А₁С₁; в частности, совместятся точки А и А₁, В и В₁, следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны, .

2.Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

1. Рассмотрим треугольники ABC и А₁В₁С₁, у которых АВ = А₁В₁, углы А и А₁, В и В₁ соответственно равны.

2.Наложим треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ – с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались бы по одну сторону от прямой А₁В₁.

3.Так как углы А и А₁, В и В₁ соответственно равны, то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС – на луч В₁С₁. Следовательно, вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче А₁В₁ и совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, поэтому они равны, .

3.Если три стороны одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

1. Рассмотрим треугольники ABC и А₁В₁С₁, у которых АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁.

2. Приложим треугольник ABC к треугольнику А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В – с вершиной В₁, а вершины С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁.

3. Возможны три случая: луч СС₁ проходит внутри угла А₁В₁С₁; луч СС₁ совпадает с одной из сторон этого угла; луч СС₁ проходит вне угла А₁В₁С₁. Для первого случая доказательство проводится через свойство углов равнобедренного треугольника, для второго и третьего – так же через свойство равнобедренного треугольника.

4)Медианы, биссектрисы, высоты треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

В любом треугольнике медианы, биссектрисы, высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

5)Равнобедренный треугольник. Его свойства.

В равнобедренном треугольнике углы при сновании равны.

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что угол В равен углу С.

2. Пусть AD – биссектриса треугольника АВС, тогда треугольники ABD и ACD равны. В равных треугольника против равных сторон лежат равные углы, поэтому угол В равен углу С, .

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и биссектрисой AD.

BD = CD (по доказанному), следовательно, AD является так же и медианой.

Угол ADB = углу ADC = 90 градусов, поскольку они являются смежными, следовательно, AD является так же и высотой, .

6)Задачи на построение: серединного перпендикуляра к отрезку; биссектрисы угла; угла, равного данному.

1. Построение биссектрисы угла.

• Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла. Отметим точки пересечения этой окружности со сторонами угла.

• Проведем 2 окружности равного радиуса из этих точек, отметим точку пересечения окружностей, лежащую внутри угла.

• Из вершины угла через отмеченную точку проведем луч, который и будет являться биссектрисой угла.

2.Построение серединного перпендикуляра.

• Возьмем произвольную точку на данном отрезке, найдем две других, отложив от нее равные отрезки.

• Проведем 2 окружности с центрами в найденных точках, отметим точки их пересечения.

• Проведем через отмеченные точки прямую, которая и будет являться серединным перпендикуляром.

3.Построение угла, равного данному.

• Построим произвольный луч.

• Построим окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла, отметим точки пересечения ее со сторонами угла.

• Проведем окружность того же радиуса из начала построенного луча, отметим точку пересечения ее с лучом.

• Проведем окружность из точки пересечения окружности со стороной данного угла (радиус равен расстоянию между точками пересечения окружности со сторонами угла).

• Проведем окружность того же радиуса с центром в точке пересечения луча и окружности. Отметим точку пересечения этих окружностей.

• Проведем луч из отмеченной точки.

7)Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых.

Параллельные прямые – 2 непересекающихся прямых в пространстве.

1.Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство через построение перпендикуляров и равенство треугольников.

2.Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Доказательство через вертикальные и накрест лежащие углы.

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны. Доказательство через накрест лежащие углы.

8)Аксиомы геометрии.

1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.

2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

5. Каждая точка О прямой делит ее на 2 луча так, что любые 2 точки одного и того же луча лежат по одну сторону от О, а любые 2 точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из этих лучей.

6. Каждая прямая а делит плоскость на две части так, что любые 2 точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от а, а 2 точки разных полуплоскостей лучей лежат по разные стороны от а. При этом прямая а называется границей каждой из указанных полуплоскостей, ее точки не принадлежат ни одной из полуплоскостей.

7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и при том только один.

10. Любой угол можно совместить с равным ему двумя способами.

11. Любая фигура равна самой себе.

12. Если первая фигура равна второй, тои вторая фигура равна первой.

13. Если первая фигура равна второй, а вторая – третьей, то первая фигура равна третьей.

14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

9)Сумма углов треугольника.

Сумма градусных мер всех углов в любом треугольнике равна 180 градусам. Доказательство проводится с помощью проведения прямой, параллельной основанию, через вершину и нахождение равных углов.

10)Соотношения между сторонами и углами в треугольнике.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Доказательство: откладываем на большей стороне отрезок, равный меньшей стороне, так, чтобы получился равнобедренный треугольник, далее используем внешний угол треугольника.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство – от противного через внешний угол треугольника.

11)Неравенство треугольника.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

1. Возьмем произвольный треугольник АВС, докажем, что АВ меньше, чем АС+ВС.

2. Отложим на продолжении АС отрезок СМ, равный стороне ВС.

3. В равнобедренном ВСМ угол СВМ равен углу СМВ, а в треугольнике АВМ угол АВМ больше угла СВМ, следовательно, угол АВМ больше угла СМВ. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то АВ меньше АМ; но АМ = АС+СМ = АС+СВ, поэтому АВ меньше чем АС+ВС, .

12)Прямоугольный треугольник. Некоторые свойства прямоугольных треугольников (сумма острых углов, катет против угла 30°)

Прямоугольный треугольник – треугольник, имеющий 1 прямой угол.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусам.

Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А – прямой, угол В = 30 градусам и угол С = 60 градусам. Докажем, что АС = ВС.

.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВМ, получим равносторонний треугольник ВСМ. АС = ВМ или ВС, .

13)Признаки равенства прямоугольных треугольников.

1.Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2.Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему к ней углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: у этих треугольников оба острых угла соответственно равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. (Доказательство – через наложение и свойство равнобедренного треугольника)

14)Построение треугольников по трем элементам.

1. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано: АВ, АС и угол А. Задача: построить АВС.

• Проведем прямую а и отложим на ней отрезок, равный АВ (в дальнейшем вместо «отрезок, равный АВ», будем говорить просто «отрезок АВ»).

• Проведем из точки А луч АМ под углом А к прямой а.

• На луче АМ отложим АС.

• Соединим точки С и В.

2. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Дано: АВ, угол А, угол В. Задача: построить АВС

• Проведем прямую а и отложим на ней АВ.

• Построим углы А и В, отметим точку С.

3. Построение треугольника по трем сторонам. Задача: построить АВС.

• Проведем прямую а, отложим на ней отрезок АВ.

• Построим окружность с центром в точке А и радиусом АС.

• Построим окружность с центром в точке В и радиусом ВС.

• Отметим точку пересечения этих окружностей – точку С.

• Проведем отрезки АС и ВС.

Четырехугольники

1)Многоугольник (виды многоугольника, элементы). Сумма углов выпуклого многоугольника. Внешний угол выпуклого многоугольника.

Многоугольник – фигура, составленная из нескольких отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные не имеют общих точек.

Многоугольник является выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма градусных мер углов n-угольника вычисляется по формуле (n – 2) 180. Доказывается через проведение диагоналей.

2)Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Признаки параллелограмма (доказательство одного из признаков).

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства.

1.В параллелограмме противоположные углы равны и противоположные стороны равны. (Доказательство – проводим 1 диагональ и выясняем равенство треугольников.) 2.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. (Доказательство – проводим 2 диагонали и ищем равные треугольники)

Признаки.

1.Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

#Дано: АВСD, АВ = СD, АВ СD. Доказать: АВСD – параллелограмм.

• Проведем диагональ АС, разделяющую данный четырехугольник на 2 треугольника: АВС и СDА.

• Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: АВ = СD по условию, АС – общая, угол ВАС равен углу АСD.

• Из равенства АВС и СDА следует, что угол АСВ равен углу САD и что АD = ВС.

• Из равенства углов АСВ и САD следует, что АD ВС, следовательно, АВСD – параллелограмм,

2.Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство: проводим диагональ, выясняем равенство треугольников, находим накрест лежащие углы, далее по первому признаку.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Доказательство: проводим 2 диагонали, находим 2 равных треугольника и накрест лежащие углы, далее по первому признаку.

3)Трапеция. Равнобокая и прямоугольная трапеция. Свойства равнобокой трапеции.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Основания – две параллельные стороны трапеции. Боковые стороны – две другие стороны трапеции.

Равнобокая трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

В равнобедренной (равнобокой) трапеции углы при каждом основании равны. Доказательство: из вершин меньшего основания проводят перпендикуляры к большему, рассматривают образовавшиеся треугольники (они равны).

В равнобедренной трапеции диагонали равны. Доказательство: проводят диагонали, рассматривают перекрывающие друг друга треугольники, доказывают их равенство, используя доказанный признак.

Прямоугольная трапеция – трапеция, один из углов которой прямой.

4)Прямоугольник. Свойства прямоугольника (доказательство).

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

# Дано: АВСD – прямоугольник. Доказать: АС = ВD.

• Рассмотрим прямоугольные треугольники АСD и DВА. Они равны по двум катетам (АВ = СD, АD – общий).

• Следовательно, АС = ВD, .

5)Ромб. Свойства ромба (доказательство).

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

#

• Поскольку все стороны ромба равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам, то ромб состоит из двух равнобедренных треугольников.

• В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является биссектрисой и высотой, следовательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам, .

6)Квадрат. Свойства квадрата (доказательство).

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны / ромб, у которого все углы прямые.

Все углы квадрата – прямые, т. к. квадрат – частный случай ромба.

Диагонали квадрата равны, делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны (квадрат – частный случай прямоугольника, ромба и параллелограмма).

7)Осевая симметрия.

Точки А и В симметричны относительно прямой а, если а пересекает отрезок АВ под прямым углом и делит его пополам.

Фигура симметрична относительно прямой а, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка относительно а принадлежит фигуре.

Прямая а – ось симметрии.

8)Центральная симметрия.

Точки А и В симметричны относительно точки О, если АО = ВО.

Фигура симметрична относительно точки О, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка относительно О принадлежит фигуре.

Точка О – центр симметрии.

Площади.

1)Теорема о площади параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Доказательство: параллелограмм достраивается до прямоугольника, выясняется равенство получившихся треугольников.

Высота параллелограмма – перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание.

Основание параллелограмма – любая сторона.

2)Теорема о площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон. Доказательство: прямоугольник достраивается до квадрата со стороной a+b, далее используются различные способы нахождения площади.

3)Теорема о площади треугольника. Следствия.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Доказательство: к данному треугольнику прикладывают равный так, чтобы получился параллелограмм.

Следствия.

1.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

2.Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

4)Теорема об отношении площадей треугольников с равными углами.

Если угол одного треугольника равен углу другого, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. Доказывается с помощью наложения треугольников друг на друга, нахождения общих высот, затем использования теоремы о площадях треугольников с равными высотами и перемножения полученных равенств.

5)Теорема о площади трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Доказательство: проводится 1 диагональ, в образовавшихся треугольниках проводятся высоты, которые оказываются равны.

6)Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство: треугольник достраивается до квадрата со стороной a+b, далее используются различные способы нахождения площади.

7)Теорема, обратная теореме Пифагора.

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник – прямоугольник. Доказательство: рассматривается другой треугольник, у которого есть прямой угол и катеты равны катетам изначального треугольника.

Подобие треугольников.

1)Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Площади подобных треугольников относятся, как квадрат коэффициента подобия. Доказывается с использованием теоремы о треугольниках, имеющих равные углы.

2)Первый признак подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники равны. Доказательство: 1) выясняется равенство третьих углов; 2) выясняется подобие сторон с использованием теоремы о треугольниках, имеющих равные углы.

3)Второй признак подобия треугольников.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны.

Дано: треугольники АВС и А₁В₁С₁, у которых АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁, угол А = углу А₁. Доказать: АВС и А₁В₁С₁ подобны.

Учитывая первый признак подобия, достаточно доказать, что угол В = углу В₁. Для этого рассмотрим треугольник АВС₂, у которого угол 1 равен углу А₁, угол 2 – углу В₁.

Треугольник АВС₂ подобен треугольнику А₁В₁С₁ по первому признаку, следовательно, АВ : А₁В₁ = АС₂ : А₁С₁. Но по условию АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁, поэтому АС = АС₂.

Треугольник АВС равен треугольнику АВС₂ (АВ – общая, АС = АС₂, угол А = углу 1, потому что угол А равен углу А₁ и угол 1 = углу А₁). Из доказанного равенства следует, что угол 2 равен углу В₁ и угол В равен углу В₁, ч. т. д.