Нормальное распределение: критическая область для уровня значимости 0.05 (двусторонний критерий)

Рисунок 2

Из рис.2 мы видим, что область допустимых значений для уровня значимости 0,05 будет находиться от –1,96 до +1,96. То есть если значение, полученное по формуле z-критерия, попадет в промежуток от –1,96 до +1,96, мы принимаем нулевую гипотезу, если нет - отвергаем. Также мы видим, что область «ошибочного принятия верной гипотезы» (хвосты распределения больше +1,96 и меньше –1,96) разделена на две части. Это говорит о том, что критерий двусторонний. Такой критерий обычно используется, когда мы проверяем двустороннюю гипотезу. Если же мы имеем дело с односторонней гипотезой, (а₂₁) то следует использовать односторонний критерий. Графически это выглядит следующим образом:

Нормальное распределение: критическая область для уровня значимости 0.05 (односторонний критерий)

Рисунок 3

Чтобы найти значение критической точки для рис. 3 в таблице стандартизированного нормального распределения, надо пользоваться уровнем значимости . Соответственно, если, например, мы хотим узнать критическую точку для одностороннего критерия при уровне значимости 0,01, мы должны искать в таблице критическую точку для уровня значимости 0,02 (она будет равна 2,33) и т.д.

Распределение Стьюдента. Итак, когда мы применяем t-критерий, то пользуемся распределением Стьюдента. Значение критической точки распределения Стьюдента зависит не только от выбранного нами уровня значимости, но также, как было уже отмечено выше, от числа степеней свободы, обычно обозначаемого df. Формула, по которой можно определить число степеней свободы для конкретных двух независимых выборок выглядит следующим образом: где и объем первой и второй выборок соответственно.

Допустим число степеней свободы у нас равно 9. Тогда для уровня значимости 0,05 графически критическая область будет выглядеть, как показано ниже:

Распределение Стьюдента: критическая область для уровня значимости 0.05 и числа степеней свободы равного 9. (двусторонний критерий)

Рисунок 4

Из рис.4 мы видим, что область допустимых значений для уровня значимости 0,05 в данном случае будет находиться от –2,26 до +2,26. То есть если значение, полученное по формуле t-критерия, попадет в промежуток от –2,26 до +2,26, мы принимаем нулевую гипотезу, если нет – отвергаем.

Если мы хотим построить график для одностороннего уровня значимости, следует действовать по той же схеме, что и для нормального распределения.

Итак, для того, чтобы определить критическую точку нам надо, прежде всего, задать уровень значимости или вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна. Если мы отвергаем верную гипотезу, то совершаем ошибку. Но мы также можем совершить и другую ошибку: принять неверную гипотезу. Такого рода ошибки называются ошибками первого и второго рода соответственно.

Проверка любой гипотезы может иметь четыре исхода, которые обычно представляют в виде следующей таблицы:

Таблица №3.

	Нулевая гипотеза верна	Нулевая гипотеза ложна
Нулевая гипотеза не отвергается	Правильное решение	Ошибка второго рода
Нулевая гипотеза отвергается	Ошибка первого рода	Правильное решение

Таким образом, нельзя сказать, что чем меньше мы возьмем уровень значимости , тем более вероятно правильное решение и тем меньше возможность ошибиться. Если мы зададим максимально маленький уровень значимости , то практически исключим вероятность ошибки первого рода, но не ошибки второго рода.

Достаточно сложно определить вероятность совершения ошибки второго рода, обозначаемой греческой буквой . Вероятность не отвергнуть ложную гипотезу зависит от многих факторов, включая следующие:

1. истинного значения изучаемого параметра, то есть того, которое мы получили бы, опросив всю генеральную совокупность;

2. величины уровня значимости ;

3. от того, односторонний или двусторонний у нас критерий;

4. от дисперсии генеральной совокупности;

5. от объема нашей выборки.

Очевидно, что истинного значения изучаемого параметра мы никогда не знаем (иначе, зачем бы мы проводили исследование) да и знание дисперсии генеральной совокупности случай не такой уж частый. Поэтому  мы посчитать не можем. Но зато можем постараться снизить вероятность ошибки второго рода, зная некоторые ее свойства.

Вероятность совершить ошибку второго рода будет уменьшаться:

1. с увеличением разницы между истинным и гипотетическим (тем, которое мы получили) параметрами;

2. с увеличением уровня значимости ;

3. с увеличением размера выборки;

4. с уменьшением стандартного отклонения от среднего генеральной совокупности.