- •7. Ламинарное течение несжимаемой жидкости в круглой трубе
- •7.1. Распределение касательного напряжения в сечении трубы
- •7.2. Распределение скорости жидкости в сечении трубы
- •7.3. Расход жидкости
- •7.4. Ламинарное течение ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе
- •8. Турбулентное течение жидкости
- •8.1. Коэффициент гидравлического сопротивления в турбулентном течении жидкости в круглой трубе
- •8.2. Уравнения Рейнольдса
- •8.3. Полуэмпирическая теория Прандтля
- •8.4. Метод управления гидравлическим сопротивлением путем введения в поток антитурбулентной присадки
|
7. Ламинарное течение несжимаемой жидкости в круглой трубе
Рассмотрим установившееся ламинарное течение несжимаемой жидкости в круглой трубе, линиями тока которого будут прямые, параллельные оси и образующим стенки трубы. Направим ось ОХ по оси трубы, так что поперечное сечение трубы лежит в плоскости . Тогда и остается лишь одна отличная от нуля компонента скорости . Из уравнения неразрывности (5.4) следует, что
,
т. е. компонента не зависит от , а является функцией лишь и . Однако вследствие радиальной симметрии течения функция определяется не самими координатами и , а лишь их комбинацией , являющейся расстоянием точки сечения трубы от ее оси: .
Связь касательного напряжения между слоями жидкости и разностью скоростей этих слоев, рассчитанной на единицу расстояния между ними (градиентом скорости) в общем случае можно записать как
. (7.1)
Для различных жидкостей эта связь может иметь различный вид, однако, отметим два частных случая, имеющих, однако, широкое применение в практике.
Функция есть линейная функция своего аргумента, причем :
. (7.2)
Жидкость, удовлетворяющую реологическому соотношению (7.2), называют ньютоновской вязкой жидкостью, а коэффициент пропорциональности - динамической вязкостью этой жидкости. Очевидно, что размерность , причем в системе СИ единицей измерения динамической вязкости служит величина , называемая одним Пуазом: .
Условие означает, что при отсутствии скорости движения слоев жидкости друг относительно друга (скорости сдвига) касательное напряжение между слоями равно нулю.
Поскольку слои жидкости, расположенные ближе к оси трубы, движутся быстрей, чем слои жидкости, расположенные дальше от нее, , следовательно, , т.е. медленные слои тормозят быстрые. Если вместо касательного напряжения ввести его модуль , который в рассматриваемом случае равен , то формула (7.2) приобретет вид:
(7.3)
Функция есть степенная функция своего аргумента. Говоря точней, модуль касательного напряжения является степенной функцией модуля скорости сдвига , причем, так же как и в предыдущем случае, при . Иными словами, имеет место соотношение
, (7.4)
а само реологическое уравнение (7.1) может быть представлено в виде:
. (7.5)
Такая запись показывает, что модуль касательного напряжения дается формулой (7.4), а его знак совпадает со знаком производной .
Жидкость, удовлетворяющую реологическому соотношению (7.4), называют неньютоновской степенной жидкостью или степенной жидкостью Освальда. Коэффициент , входящий в это уравнение, называют косистентностью жидкости, а показателем степени: если , то жидкость называют псевдопластичной, если же дилатантной. Размерность консистентности равна, очевидно, . При степенная жидкость является ньютоновской вязкой жидкостью, причем коэффициент .
7.1. Распределение касательного напряжения в сечении трубы
Выделим в жидкости, движущейся в трубе, цилиндр радиуса с длиной (рис. 7.1.).
Рис. 7.1. Равновесие сил на поверхности цилиндра
Рассмотрим силы, действующие на выделенный цилиндр. В сечении (1—1) действует сила давления , в сечении (2—2) - сила , где и давления в сечениях (1—1) и (2—2). На боковую поверхность цилиндра действует сила трения . Кроме того, имеется еще массовая сила – сила инерции равняя массе жидкости выделенного объема, умноженной на ускорение его центра тяжести со знаком «минус».
Уравнение равновесия всех этих сил в проекции на ось трубы имеет вид:
. (7.6)
Поскольку движение жидкости считается установившимся, то . Кроме того, из уравнения неразрывности следует, что , следовательно, ускорение . Действительно
.
Тогда из уравнения (7.6) баланса сил заключаем, что распределение модуля касательного напряжения по радиусу трубы будет линейным:
, (7.7)
где . В частности, модуль касательного напряжения на внутренней поверхности трубы выражается формулой
. (7.8)
Используя (7.8), распределению (7.7) можно придать следующий вид:
. (7.9)
Отсюда видно, что касательное напряжение минимально на оси трубы ( ) и максимально на внутренней поверхности трубы .